复变函数论1

求非零复数 z z z 的 n n n 次方根, 相当于解二项方程

w n = z ( n ⩾ 2 , 整数  ) ( 1.13 ) w^{n}=z \quad(n \geqslant 2 \text {, 整数 }) \quad\quad (1.13) wn=z(n⩾2, 整数 )(1.13)

今记其根的总体为 z n \sqrt[n]{z} nz ​, 下面我们来求它们.

设 z = r e i θ , w = ρ e i θ z=r \mathrm{e}^{i\theta}, w=\rho \mathrm{e}^{i \theta} z=reiθ,w=ρeiθ, 则 (1.13) 变形为

ρ n e i n φ = r e i θ , \rho^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \varphi}=r \mathrm{e}^{i\theta}, ρneinφ=reiθ,

从而得两个方程

ρ n = r , n φ = θ + 2 k π , \rho^{n}=r, \quad n \varphi=\theta+2 k \pi, ρn=r,nφ=θ+2kπ,

解出得

ρ = r n  (取算术根),  φ = θ + 2 k π n , \rho=\sqrt[n]{r} \text { (取算术根), } \quad\varphi=\frac{\theta+2 k \pi}{n}, ρ=nr ​ (取算术根), φ=nθ+2kπ​,

从而有

∣ z n ∣ = ∣ z ∣ n \begin{array}{c} |\sqrt[n]{z}|=\sqrt[n]{|z|} \end{array} ∣nz ​∣=n∣z∣ ​​

Arg ⁡ z n = Arg ⁡ z n . \begin{array}{c} \operatorname{Arg} \sqrt[n]{z}=\cfrac{\operatorname{Arg} z}{n} . \end{array} Argnz ​=nArgz​.​

因此 z z z 的 n n n 次方根为

w k = ( z n ) k = r n e i θ + 2 k π n = e i 2 k π n ⋅ r n e i θ n ( 1.14 ) \color{red}{w_{k}=(\sqrt[n]{z})_{k}=\sqrt[n]{r} \mathrm{e}^{i \frac{\theta+2 kπ}{n}}=\mathrm{e}^{i\frac{2kπ}{n}} \cdot \sqrt[n]{r} \mathrm{e}^{i\frac{\theta}{n}}} \quad\quad (1.14) wk​=(nz ​)k​=nr ​einθ+2kπ​=ein2kπ​⋅nr ​einθ​(1.14)

这里 k k k 表面上可以取 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ 0, \pm 1, \pm 2, \cdots 0,±1,±2,⋯, 但实际上只要取 k = 0 , 1 , 2 , ⋯