积分法则

2024-07-03 05:06| 来源: 网络整理| 查看: 265

积分法则积分

积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。它时常是用来求 函数曲线下面的面积的方法。像这样：

很多函数的积分都是众所周知的，也有很多有用的法则来帮助我们去求较为复杂的函数的积分，包括在下面列出的一些法则。

我们也会用一些例子来说明。

常用函数函数积分常数 ∫a dx ax + C 变量 ∫x dx x2/2 + C 平方 ∫x2 dx x3/3 + C 倒数 ∫(1/x) dx ln|x| + C 指数 ∫ex dx ex + C ∫ax dx ax/ln(a) + C ∫ln(x) dx x ln(x) − x + C 三角法（x 的单位是弧度） ∫cos(x) dx sin(x) + C ∫sin(x) dx -cos(x) + C ∫sec2(x) dx tan(x) + C 法则函数积分乘以常数 ∫cf(x) dx c∫f(x) dx 幂次数法则 (n≠-1) ∫xn dx xn+1/(n+1) + C 和法则 ∫(f + g) dx ∫f dx + ∫g dx 差法则 ∫(f - g) dx ∫f dx - ∫g dx 分部积分法见分部积分法换元法则见换元积分法例子例子：sin(x) 的积分是什么？

从上面的列表，答案是 −cos(x) + C

写成：

∫sin(x) dx = −cos(x) + C

幂次方法则例子：∫x3 dx 是什么？

问题是 "x3 的积分是什么？"

我们可以用幂次方法则，设 n=3

∫xn dx = xn+1/(n+1) + C

∫x3 dx = x4/4 + C

例子：∫√x dx 是什么？

√x 等于 x0.5

我们可以用幂次方法则，设 n=½:

∫xn dx = xn+1/(n+1) + C

∫x0.5 dx = x1.5/1.5 + C

乘以常数例子：∫6x2 dx 是什么？

我们可以把 6 移到积分外面：

∫6x2 dx = 6∫x2 dx

接着用幂次方法则来求 x2 的积分：

= 6 x3/3 + C

简化：

= 2x3 + C

和法则例子： ∫cos x + x dx 是什么？

用和法则：

∫cos x + x dx = ∫cos x dx + ∫x dx

求每项的积分（用上面的表）：

= sin x + x2/2 + C

差法则例子： ∫ew − 3 dw 是什么？

用差法则：

∫ew − 3 dw =∫ew dw − ∫3 dw

T求每项的积分（用上面的表）：

= ew − 3w + C

和法则、差法则、乘以常数和幂次方法则例子： ∫8z + 4z3 − 6z2 dz 是什么？

用和法则和差法则：

∫8z + 4z3 − 6z2 dz =∫8z dz + ∫4z3 dz − ∫6z2 dz

常以常数：

= 8∫z dz + 4∫z3 dz − 6∫z2 dz

幂次方法则：

= 8z2/2 + 4z4/4 − 6z3/3 + C

简化：

= 4z2 + z4 − 2z3 + C

分部积分法

见分部积分法

换元法则

见换元积分法

积分代数索引

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