计算两个或多个向量之间的相关性（Matlab 实现）

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两个随机变量 x x x、 y y y 的 Pearson 线性相关系数的计算公式为 ρ = E { ( x − E [ x ] ) ( y − E [ y ] ) } E [ ( x − E [ x ] ) ] 2 E [ ( y − E [ y ] ) ] 2 = E { ( x − μ x ) ( y − μ y ) } σ x σ y \begin{aligned} \rho &= \frac{ E\left\{( x - E[ x]) ( y - E[ y])\right\} } { \sqrt{ E[( x - E[ x])]^2 E[( y - E[ y])]^2 } } \\ &= \frac{ E\left\{( x - \mu_x) ( y - \mu_y)\right\} } { \sigma_x \sigma_y } \end{aligned} ρ​=E[(x−E[x])]2E[(y−E[y])]2 ​E{(x−E[x])(y−E[y])}​=σx​σy​E{(x−μx​)(y−μy​)}​​

corr 用于计算 Pearson 线性相关系数，其语法如下：

X \bf X X、 Y \bf Y Y 为观测值矩阵，矩阵大小分别为 n × k 1 n\times k_1 n×k1​ 和 n × k 2 n\times k_2 n×k2​。

Pearson 线性相关系数矩阵 rho 的第 ( a , b ) (a, b) (a,b) 个元素为 X \bf X X 第 a a a 个列向量（ X a \mathbf X_a Xa​）和 Y \bf Y Y 第 b b b 个列向量（ Y b \mathbf Y_b Yb​）之间的 Pearson 线性相关系数，对应的计算公式为 KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 26: … = \frac{ \sum_̲\limits{i=1}^{n…

相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。 –1 表示完全负相关，而 +1 表示完全正相关。 0 表示列之间没有相关性。

当 corrcoef 的输入只有一个矩阵时，其结果与 corr 一致。

当 corrcoef 的输入有两个矩阵时，计算这两个矩阵对应的列向量的相关系数矩阵，返回矩阵大小为 2 × 2 2\times 2 2×2。

rho4 的非对角线元素等于 rho3，对角线元素为 1 。

xcorr 的结果可以解释为两个随机序列之间的相关性估计，也可以解释为两个确定性信号之间的确定相关性。

两个联合平稳随机过程 x n x_n xn​ 和 y n y_n yn​ 的互相关序列由下式给出 R x y ( m ) = E { x n + m y n ∗ } = E { x n y n − m ∗ } R_{xy}(m) = E\{x_{n+m}y_n^*\} = E\{x_{n}y_{n-m}^*\} Rxy​(m)=E{xn+m​yn∗​}=E{xn​yn−m∗​}

一般情况下，相关性函数需要归一化来生成准确的估计，可以通过使用输入参数 scaleopt 来控制相关性的归一化。

两个随机变量 A A A 和 B B B 的协方差定义为 c o v ( A , B ) = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( A i − μ A ) ∗ ( B i − μ B ) \mathrm{cov}(A, B) = \frac{1}{N-1} \sum\limits_{i=1}^{N} (A_i-\mu_A)^* (B_i-\mu_B) cov(A,B)=N−11​i=1∑N​(Ai​−μA​)∗(Bi​−μB​)

当 cov 的输入只有一个矩阵（ M × N M\times N M×N）时，返回矩阵中不同列向量之间的协方差矩阵，大小为 N × N N\times N N×N。

当 cov 的输入有两个矩阵时，计算这两个矩阵对应的列向量之间的协方差矩阵，返回矩阵大小为 2 × 2 2\times 2 2×2 。