常见概率论问题

设随机变量X1,X2,…Xn相互独立,且都服从（0,1）上的均匀分布.问：求U=max{X1,X2,…Xn}数学期望.

【答案】所有关于min、max这种题都有一个固定的下手点,就是 U ≤ u → X [ 1 ] 、 X [ 2 ] … X [ n ] U≤u→X[1]、X[2]…X[n] U≤u→X[1]、X[2]…X[n]里面最大的都小于等于 u u u，即每个 X [ 1 ] 、 X [ 2 ] … X [ n ] X[1]、X[2]…X[n] X[1]、X[2]…X[n]都小于等于 u u u。 每个都小就可以通过独立事件的概率乘法公式计算概率，所以 U ≤ u U≤u U≤u的概率可以算出来，这就是 U U U的累积分布函数，再对u求导就是概率密度函数，再乘以 u u u求期望就算完了. 先看 U U U的CDF（累积分布函数）:

F ( u ) = P ( U ≤ u ) = P ( X [ 1 ] ≤ u ) × P ( X [ 2 ] ≤ u ) × … × P ( X [ n ] ≤ u ) , u ∈ [ 0 , 1 ] F(u)=P(U≤u)=P(X[1]≤u)×P(X[2]≤u)×…×P(X[n]≤u), u\in[0,1] F(u)=P(U≤u)=P(X[1]≤u)×P(X[2]≤u)×…×P(X[n]≤u),u∈[0,1]

每个 X [ i ] ≤ u X[i]≤u X[i]≤u的概率都是取0~u的取值概率，就是区间长度u除以总区间长1（因为是均匀分布），等于u，所以 F ( u ) = u n F(u)=u^n F(u)=un（u的n次方），求导得到PDF（概率密度函数） f ( u ) = n u ( n − 1 ) f(u)=nu^{(n-1)} f(u)=nu(n−1)（注意u都是(0,1)上面的，其余地方概率都是0）。根据公式 E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx E(x)=∫−∞+∞​xf(x)dx，可以求出期望： E ( U ) = ∫ 0 1 n u n d u = n n + 1 E(U)=\int_0^1nu^{n}du=\frac{n}{n+1} E(U)=∫01​nundu=n+1n​。

给定三条边 a , b , c ∈ ( 0 , 1 ) a, b, c \in(0,1) a,b,c∈(0,1)，求这三条边能组成三角形的概率。