非参数检验

最近看论文，看到了Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验），咱也不知道是个啥，就学习了一下，这里做一下笔记，方便以后查阅。

数据描述的三个角度：集中趋势，离散程度和分布形态。

常用统计推断检验方法分为两大类：参数检验和非参数检验。

参数检验通常是假设总体服从正态分布，样本统计量服从T分布的基础之上，对总体分布中一些未知的参数，例如总体均值、总体方差和总体标准差等进行统计推断。

如果总体的分布情况未知，同时样本容量又小，无法运用中心极限定理实施参数检验，推断总体的集中趋势和离散程度的参数情况。这时，可以用非参数检验，非参数检验对总体分布不做假设，直接从样本的分析入手推断总体的分布。

① 适用范围：

非参数检验用作参数检验的替代方法，当数据不满足正态性时，将使用非参数检验。因此，关键是要弄清楚是否具有正态分布。如果数据大致呈现"钟型"分布，则可以使用参数检验。

② 检验效能：

如果数据满足参数分布，应该优先选择参数检验方法。愿因在于参数检验的检验效能要高于非参数检验。尤其是在样本数较大的情况下，参数检验结果较为稳健，所以即使不服从正态分布，也会选择参数检验。

③ 对比指标：

参数检验一般用平均值反映数据的集中趋势；但由于数据不满足正态分布，在非参数检验中如果再使用平均值描述显然不太准确（比如常被吐槽的人均收入），此时中位数是更好的选择。

参数检验分析结果 参数检验用平均值及标准差描述数据分布请况。

非参数检验分析结果 非参数检验结果中使用的是中位数描述差异。

④ 图形展示：

除了使用以上指标进行分析，还可以通过图形直观展示数据情况。参数检验常用图形有：折线图、条形图等，非参数检验可以使用箱线图查看。

凡是在分析过程中不涉及总体分布参数的检验方法，都可以称为“非参数检验”。因而，与参数检验一样，非参数检验包括许多方法。以下是最常见的非参数检验及其对应的参数检验对应方法：

非参数检验的方法是五花八门，名字也是千奇百怪，但是，这些方法有它们的共性。

上面介绍了，因为对总体的分布形态不清楚或总体分布不是正态分布，所以无法用参数检验来推断总体的集中趋势和离散程度的参数。

统计学家想到用排秩（排序）的方法来规避不是正态分布的问题，用样本的排序情况来推断总体的分布情况。这就好比梁山一百单八将排好了座次，从中随机抽出几个，测试武力值，大概其能够了解梁山的实力如何。

下图是非参数检验常用的检验方法表:

Frank Wilcoxon (1892—1965) 是美国的统计学家，发表了 70 篇左右论文，但其最大的贡献就是这 2 个以他名字命名的非参假设检验方法：秩和检验 和 符号秩检验。他在 1945 年发表的论文 1 中将二者分别称为 非成对检验 （unpaired experiment）和 成对检验（paired comparison）。 正是因为其巨大影响力使得这两个检验方法都以他的名字命名，并流传下来。

在统计学中，Wilcoxon rank-sum test（威尔科克森秩和检验） 也叫 Mann-Whitney U test（曼-惠特尼 U 检验），或者 Wilcoxon-Mann-Whitney test。秩和检验是一个非参的假设检验方法，一般用来检测 2 个数据集是否来自于相同分布的总体。

这里的 “秩” 其实就是 “排名” 的意思，“秩和” 当然就是指 “将排名进行求和” 的操作。在秩和检验中，我们不要求被检验的 2 组数据包含相同个数的元素，换句话说，秩和检验更适用于非成对数据之间的差异性检测。

假设我们有 2 组数据 x 1 x_{1} x1​和 x 2 x_{2} x2​，如下表所示， x 1 x_{1} x1​中有 7 个元素（列 x 1 x_1 x1​中）， x 2 x_{2} x2​中有 8 个元素（列 x 2 x_{2} x2​中），现在使用秩和检验判断这 2 组数据是否存在显著性差异。

步骤 1：我们首先将 x 1 x_{1} x1​和 x 2 x_{2} x2​整合成一个序列，并按升序重新排序，序号记在表中的 r a n k rank rank列当中。我们分别计算 2 组数据的排名之和 R 1 R_{1} R1​和 R 2 R_{2} R2​有： 注意，当我们计算若干等值元素的排名时，会用这些元素排名的平均值作为它们在整个序列中的排名。例如 x 1 x_{1} x1​中的第 2 个元素与 x 2 x_{2} x2​中第3 个元素的值都等于 5，且这 2 个 5 在整个序列中的排名分别是第 5 和第 6，因此这两个元素的排名为 5 + 6 2 = 5.5 \frac{5+6}{2}=5.5 25+6​=5.5 。其余等值元素的排名计算也与之类似。

步骤 2：令 n 1 n_{1} n1​和 n 2 n_{2} n2​分别表示 2 组数据的个数，即 n 1 = 7 n_{1}=7 n1​=7, n 2 = 8 n_{2}=8 n2​=8。再令 T TT 表示小样本的排名和，即 T = R 1 = 77.5 T = R_1 = 77.5 T=R1​=77.5。根据计算公式可得 U 1 U_{1} U1​和 U 2 U_{2} U2​的值如下：

步骤 3：由于 U 1 U_{1} U1​更小，我们依此来查 Wilcoxon 双尾临界表，当 α = 0.05 , n 1 = 7 , n 2 = 8 α = 0.05 , n_1 = 7 , n_2 = 8 α=0.05,n1​=7,n2​=8时的临界值是 10。因为 U 1 < 10 U_{1} < 10 U1​ 110 125 > 110 125>110，故其符号位为 + 1 +1 +1.

步骤 2： 首先对 y 1 y_{1} y1​和 y 2 y_{2} y2​两两成对求差得到绝对值 a b s abs abs列，然后根据 a b s abs abs列排序得到 r a n k rank rank列。当某一对 y 1 y_{1} y1​和 y 2 y_{2} y2​的元素相等时，即 a b s = 0 abs=0 abs=0时，我们不计算其 r a n k rank rank值。例如，在 I D = 4 ID=4 ID=4的数据对中， y 1 y_1 y1​和 y 2 y_2 y2​的值都是 140，因此这对数组没有排名值。

步骤 3： 有了这个 s i g n sign sign和 r a n k rank rank列的结果后，我们就可以来计算秩和了，其中大于 0 的秩和 W + W^{+} W+和 对于小于 0 的秩和 W − W^{-} W−，以及最终的符号秩和 ∣ W ∣ |W| ∣W∣如下所示，

步骤 4：最后我们根据 ∣ W ∣ |W| ∣W∣ 来查表，我们得到当 Wilcoxon 在 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05 n = 9 n = 9 n=9的时候的临界值是 5，而我们计算出来的 ∣ W ∣ = 9 > 5 |W| = 9 > 5 ∣W∣=9>5，因此我们不能拒绝原假设。最终结论是： y 1 y_{1} y1​和 y 2 y_{2} y2​不存在统计意义上的显著性差异，它们可能来自于同一分布的总体。

在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.wilcoxon() 函数来实现秩和检验，如下代码，

得到的结果如下，其中 s t a t i s t i c = 18.0 statistic = 18.0 statistic=18.0，表示 2 类符号秩和较小的一个（ ∣ W + |W^{+} ∣W+和 ∣ W − ∣ |W^{-}| ∣W−∣最小的是 18 18 18）； p v a l u e = 0.5936 … pvalue=0.5936… pvalue=0.5936… 就是我们需要的 p − v a l u e p-value p−value 值。之所以出现 Warning 信息是因为我们的数据量太少，一般来讲大于 20 20 20 是比较合适做假设检验的。

2022年10月12日更新： 我太难了，又看到了Friedman算法，这是个啥，不知道啊，接着学习吧，记录一下！

当我们提出一种算法，需要知道我们的算法和现在已有的算法相比，性能是否更优的时候，就需要用到模型性能评估的方法。

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验方法的特点是：可以进行多个算法的比较。

假定我们用 D 1 、 D 2 、 D 3 D_1、D_2、D_3 D1​、D2​、D3​和 D 4 D_4 D4​四个数据集对算法 A A A、 B B B、 C C C进行比较。

首先需要得到每个算法在每个数据集上的测试结果，可以是准确率，也可以是均方误差，然后在每个数据上根据测试性能的好坏进行排序，并赋予序值 1，2，…。

如果算法的测试性能相同，则评分排名。 比如，在 D 1 D_1 D1​和 D 3 D_3 D3​上， A A A 最好、 B B B次之， C C C 最差，而在 D 2 D_2 D2​ 上 A A A 最好 B B B和 C C C性能相同，…，则可以列出如下表所示的序值表，对每一列的序值进行求平均，得到平均序值。

使用 Friedman 检验来判断这些算法是否性能相同。如果相同，则他们的平均序值应该相等。

假定我们在 N N N个数据集上比较 k k k个算法，令 r i r_i ri​表示第 i i i个算法的平均序值。为简化讨论，暂时不考虑平分序值的情况，则 r i r_i ri​服从正态分布，其均值和方差分别为 ( k + 1 ) / 2 (k+1)/2 (k+1)/2和 ( k 2 − 1 ) / 12 (k^2-1)/12 (k2−1)/12。变量

在 k k k和 N N N都较大时，服从自由度为 k − 1 k-1 k−1 的 χ 2 \chi^2 χ2分布。

然后，上述的这样的 “原始 Friedman 检验” 过于保守，现在通常使用变量

其中， τ F \tau_F τF​服从自由度为 k − 1 k-1 k−1和 ( k − 1 ) ( N − 1 ) (k-1)(N-1) (k−1)(N−1)的 F F F分布。常用的临界值可以见下表。

若 “所有算法的性能相同” 这个假设被拒绝，则说明算法的性能显著不同。

这个时候就需要使用 “后续检验”（post-hoc test）来进一步区分算法。常用的算法是 Nemenyi 后续检验。

Nemenyi 检验计算出平均序值差别的临界值域

下表给出了 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05和 0.1 0.1 0.1时常用的 q α q_\alpha qα​值。

若两个算法的平均序值之差超出了临界值域#CD# ，则以相应的置信度拒绝 “两个算法性能相同” 这一假设。

如何理解非参数检验？

非参数检验思路总结，清晰理解就靠它了！

Wilcoxon 检验之 rank-sum 与 signed-rank

威尔科克森(Wilcoxon)符号秩检验：定义，运行方式

Wilcoxon Signed Rank Test: Definition, How to Run, SPSS

模型性能评估之 Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

【西瓜书 第二章】2.4.4 Friedman 检验 和 Nemenyi 检验