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【高中】匀变速直线运动
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重要推论做匀变速直线运动的物体，在某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度.即：v_\frac{t}{2}=\overline{v}=\frac{v_0+v_t}{2}.推导：由v_t=v_0+at知，经过\frac{t}{2}的瞬时速度为：v_\frac{t}{2}=v_0+at_\frac{t}{2}.将v_t=v_0+at代入上式得： v_\frac{t}{2}=v_0+\frac{1}{2}(v_t-v_0)=v_0+\frac{v_t}{2}-\frac{v_0}{2}=\frac{v_0+v_t}{2} \\ 即：v_\frac{t}{2}=\frac{v_0+v_t}{2} 做匀变速直线运动的物体，在某段位移内中间位置的瞬时速度v_\frac{x}{2}等于初速度v_0与末速度v_t二次方之和的一半的平方根，即：v_\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{v_0^2+v_t^2}{2}}.推导：由v_t^2-v_0^2=2as知:v_\frac{x}{2}^2-v_0^2=2a\frac{x}{2} \\v_t^2-v_\frac{x}{2}^2=2a\frac{x}{2} \\v_\frac{x}{2}^2-v_0^2=v_t^2-v_\frac{x}{2}^2 \\ 即：v_\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{v_0^2+v_t^2}{2}} 做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移之差是一个恒量，即：\Delta x=aT^2.推导：如图1所示，s_1、s_2为连续相等时间T内的位移，加速度为a. x_1=v_CT-\frac{1}{2}aT^2 \\x_2=v_CT+\frac{1}{2}aT^2 \\ 联立以上两式得：\Delta x=s_2-s_1=aT^2. 对于初速度为零的匀变速直线运动，ts末，2ts末，3ts末\cdots\cdots的瞬时速度之比为：v_1:v_2:v_3:\cdots:v_n=1:2:3:\cdots:n\\推导：由v_t=at知:v_1=at,v_2=2at,v_3=3at,v_n=nat \\ 即得：v_1:v_2:v_3:\cdots:v_n=1:2:3:\cdots:n\\ 对于初速度为零的匀变速直线运动，ts内，2ts内，3ts内\cdots\cdots的位移之比为：x_1:x_2:x_3:\cdots:x_n=1^2:2^2:3^2:\cdots:n^2\\推导：由x=\frac{1}{2}at^2知:x_1=\frac{1}{2}at^2，x_2=\frac{1}{2}a(2t)^2，x_3=\frac{1}{2}a(3t)^2，x_n=\frac{1}{2}a(nt)^2 \\ 即得：x_1:x_2:x_3:\cdots:x_n=1^2:2^2:3^2:\cdots:n^2\\ 对于初速度为零的匀变速直线运动，第1个ts末，第2个ts末，第3个ts末\cdots\cdots的位移之比为：x_Ⅰ:x_Ⅱ:x_Ⅲ:\cdots:v_N=1:3:5:\cdots:(2n-1)\\推导：由x=\frac{1}{2}at^2知:x_Ⅰ=\frac12a\cdot t^2=\frac12a\cdot1\cdot t^2 \\x_Ⅱ=\frac12a\cdot (2^2-1^2)t^2=\frac12a\cdot3\cdot t^2 \\x_Ⅲ=\frac12a\cdot (3^2-2^2)t^2=\frac12a\cdot5\cdot t^2 \\\cdots\cdots \\x_N=\frac12a[n^2-(n-1)^2]t^2=\frac12a\cdot(2n-1)\cdot t^2 \\ 即得：x_Ⅰ:x_Ⅱ:x_Ⅲ:\cdots:v_N=1:3:5:\cdots:(2n-1)\\ 对于初速度为零的匀变速直线运动，通过位移x,2x,3x,\cdots,nx所需的时间之比为：t_1:t_2:t_3:\cdots:t_n=\sqrt{1}:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\cdots:\sqrt{n}\\推导：由x=\frac{1}{2}at^2知:t=\sqrt{\frac{2x}{a}}t_1=\sqrt{\frac{2\times x}{a}} \\t_2=\sqrt{\frac{2\times 2x}{a}} \\t_3=\sqrt{\frac{2\times 3x}{a}} \\\cdots\cdots \\t_n=\sqrt{\frac{2\times nx}{a}} \\ 即得：t_1:t_2:t_3:\cdots:t_n=\sqrt{1}:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\cdots:\sqrt{n}\\ 从静止开始通过连续相等的位移所用的时间之比为：t_1:t_2:t_3:\cdots:t_n=(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\cdots:(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\\推导：由x=\frac{1}{2}at^2知:t=\sqrt{\frac{2x}{a}}t_1=\sqrt{\frac{2x}{a}} \\t_2=\sqrt{\frac{2\times2x}{a}}-\sqrt{\frac{2x}{a}}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{2x}{a}} \\t_3=\sqrt{\frac{3\times2x}{a}}-\sqrt{\frac{2\times2x}{a}}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sqrt{\frac{2x}{a}} \\\cdots\cdots \\t_n=\sqrt{\frac{n\times2x}{a}}-\sqrt{\frac{(n-1)\times2x}{a}}=(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\sqrt{\frac{2x}{a}} \\ 即得：t_1:t_2:t_3:\cdots:t_n=(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\cdots:(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\\ 例题【例】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3s内的位移为x_1，最后3s内的位移为x_2，已知x_2-x_1=6m；x_1:x_2=3:7，求斜面的总长. 【解析】由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.由题意知，\frac{x_1}{x_2}=\frac{3}{7}，x_2-x_1=6m，解得x_1=4.5m，x_2=10.5m物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.由于连续相等时间内位移的比为：1:3:5:\cdots:(2n-1).故x_n-(2n-1)x_1，可知10.5=4.5(2n-1)，解得：n=\frac{5}{3}.又因为，x_总=n^2x_1，所以斜面的总长：x_总=(\frac{5}{3})^2\times4.5m=12.5m.【答案】12.5m |
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