【信号与系统】学习记录2

按照PPT的分章来决定每篇的内容长度与分节。

阶跃函数的积分是斜坡函数，即：

其推导过程为：

冲击函数可以描述间断点的导数

就我们学的那种 映射的概念。

很类似于普通函数，但是广义函数的自变量换成了检验函数：φ(t) 当然，定义式不唯一。

我再简言之：也就是说，一个冲激函数作用于一个检验函数（其实就是被作用的函数），两个函数的积的积分刚好能等于检验函数t=0的值。 也就是说，满足这个定义式，且对任意检验函数都有用的函数，就可以叫冲激函数了。 如果还有不懂可以看后面的一节内容

f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) ⋅ δ ( t ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t ) d t = f ( 0 ) ⋅ ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = f ( 0 ) f(t)δ(t)=f(0) \cdot δ(t) \\ \\ \\ \int_{-∞}^{+∞} f(t) \cdot δ(t)dt = f(0) \cdot \int_{-∞}^{+∞} δ(t) dt = f(0) f(t)δ(t)=f(0)⋅δ(t)∫−∞+∞​f(t)⋅δ(t)dt=f(0)⋅∫−∞+∞​δ(t)dt=f(0) 注意：积分区间要包含冲激所在的时刻t=0 例题：

f ( t ) δ ( t − a ) = f ( a ) ⋅ δ ( t − a ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t − a ) d t = f ( a ) f(t)δ(t-a)=f(a) \cdot δ(t-a) \\ \\ \\ \int_{-∞}^{+∞} f(t) \cdot δ(t-a)dt = f(a) f(t)δ(t−a)=f(a)⋅δ(t−a)∫−∞+∞​f(t)⋅δ(t−a)dt=f(a)

注意：积分区间要包含冲激所在的时刻t=a 例题：注意推导第三个公式，如何表示成ε(t)

∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ′ ( t ) d t = − f ′ ( 0 ) \int_{-∞}^{+∞} f(t) δ'(t) dt=-f'(0) ∫−∞+∞​f(t)δ′(t)dt=−f′(0) 当然，同理有： ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ′ ( t − a ) d t = − f ′ ( a ) \int_{-∞}^{+∞} f(t) δ'(t-a) dt=-f'(a) ∫−∞+∞​f(t)δ′(t−a)dt=−f′(a) 例题：

∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ n ( t ) d t = ( − 1 ) n f n ( 0 ) \int_{-∞}^{+∞} f(t) δ^{n}(t) dt=(-1)^{n}f^{n}(0) ∫−∞+∞​f(t)δn(t)dt=(−1)nfn(0)

δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) δ(at) =\frac{1}{\lvert a\rvert}δ(t) δ(at)=∣a∣1​δ(t) 其n阶导的变换，也是通式： δ n ( a t ) = 1 ∣ a ∣ 1 a n δ n ( t ) δ^n(at) =\frac{1}{\lvert a\rvert}\frac{1}{a^n}δ^n(t) δn(at)=∣a∣1​an1​δn(t) 证明（不需要记）：

这样记：δ(t-a)取样f(a), δ'(t-a)取样-f(a)

类比连续函数，离散的概念定义一样：