非奇异矩阵的多种判断方式

基本概念：

n阶方阵A是非奇异矩阵的充要条件是A为可逆矩阵。

下面列举几种判断方式（前提条件：矩阵是个n*n的方阵）：

一个矩阵非奇异当且仅当行列式不为0。

一个矩阵非奇异当且仅当其所代表的线性变换是个自同构。

一个矩阵非奇异（正定）当且仅当它的每个特征值都大于0。

一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。

一个矩阵A非奇异的充要条件是n*2n阵（A，En）可经过有限次的初等变换化为（En，B）。

如果矩阵A严格对角占优，则矩阵A非奇异。

下面给出上述定理的相关证明：

定理1：一个矩阵非奇异当且仅当行列式不为0

Proof：行列式表示线性变换的缩放比和方向。若行列式为0，表示线性变换后的维度降低。若维度降低，则不为可逆矩阵。

定理2：一个矩阵非奇异当且仅当其所代表的线性变换是个自同构。

PS:自同构：对于一个集合A，A中定义一个闭合运算○，存在一个A与A之间的映射φ ，若φ为一双射，且对于A内任意元素a,b都有φ（a○b）=φ（a）○φ（b）则这个映射φ 叫做一个对于○ 来说的A的自同构（automorphism）。

Proof：线性变换可以用矩阵表示，若线性变换自同构，则表示线性映射可逆，是个双射，则所代表的矩阵是可逆的，即矩阵非奇异。

定理3：一个矩阵正定（非奇异）当且仅当它的每个特征值都大于0。

PS：正定矩阵是一类特殊的实对称矩阵，如果一个矩阵M满足对于任何非零向量z，都有zTMz> 0，那么这个矩阵是正定矩阵。

Proof：所有特征值的乘积是方阵的行列式，若每个特征值都>0，则满足定理1，矩阵非奇异。

定理4：一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。

Proof：矩阵的秩表示线性变换后的空间维度。由定理1得，行列式为零意味着维度降低，因此方阵不满秩。

定理5：一个矩阵A非奇异的充要条件是n*2n阵（A，En）可经过有限次的初等变换化为（En，B）。

Proof：

故：

定理6：如果矩阵A严格对角占优，则矩阵A非奇异。

Proof：