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基于Simulink的简单时滞微分方程组仿真
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今天学习了一些基于Simulink的简单时滞微分方程组仿真，主要用到的模块是“Variable Time Delay”，从效果上来看，目前可以实现一般的时变时滞和中立时滞系统的仿真，但是分布式时滞还不能实现。相对于之前的无时滞的情形，考虑时滞在模块搭建上只需要添加一个时滞的影响，我们还是以例子说话，考虑如下的带有时滞的神经网络系统： $$\dot{x}(t)=-Ax(t)+Bf(x(t))+Cf(x(t-\tau(t))),$$其中，$x(t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)]^{T}$,$A=I_{2}$,$f(\cdot)=tanh(\cdot)$,$\tau(t)=1+0.1\sin(t)$,$B=\left[ \begin{matrix} 2 & -0.1\ -5 & 3 \end{matrix} \right]$, $C=\left[ \begin{matrix} -1.5 & -0.1\ -0.2 & -2.5 \end{matrix} \right]$. 如果不考虑最后一项，很容易用下面的框图得到结果： 
这里“Matlab Function”模块代码为：
function y = fcn(u)
y=u;
A=-eye(2);
B=[2 -0.1;-5 3];
y=[A*u+B*tanh(u)];
相比于之前的代码，这里多了个“Scope”模块，这个模块可以比较方便看到状态图，但是不能直接做出相图，设置好积分器的初值为“[0.1;0.1]”之后，保存此框图，命名为“test2”，双击“Scope”模块，得到下图： 
点击菜单栏的绿色运行按钮，得到下图即为系统状态随时间的变化：
下面我们考虑最后一项的时滞影响，直接上图再解释吧：
将菜单栏的运行时间长度设置成100，保存，再双击“Scope”模块，点击菜单栏的绿色运行按钮，得到下图即为系统状态随时间的变化：
对于上面的模块，我们做一些说明。对比没有时滞的框图，这里看上去要复杂很多，但是，我们还可以看到一条主要的反馈，即积分器前后。由于有了时滞，我们必须把时滞那一项单独处理，所以在积分器前面有个模块“Add”，顾名思义，这个模块是加法模块，将输入的两个信号相加，再看一下咱们的模型，可拆分为有时滞的和无时滞的两个部分，所以，大家可以想到，上面的那根线是无时滞的，下面的那根线是有时滞的，在这里，上面的模块“Matlab Function”里的代码是：
function y = fcn(u)
y=u;
A=-eye(2);
B=[2 -0.1;-5 3];
y=[A*u+B*tanh(u)];
这一部分就解决了前面两项没有时滞的部分，下面仔细看看时滞怎么处理的。积分器输出的信号是系统的状态，我们可以看到，这个状态传送到了“Variable Time Delay”模块，这个模块有两个输入一个输出，我们假设上面的输入是"u(t)",下面的输入是"To(t)"，那么它的输出就是“u(t-To(t))”，这里需要输入的“u(t)”直接就是系统的状态，所以留给我们的任务是“To(t)”该怎么设计。我们可以看到，下面的输入来自一个“Matlab Function2”模块，而“Matlab Function2”模块的输入是一个“Clock”模块，这里“Clock”模块的没有输入，只有输出，它输出当前的仿真时刻，即“t”的值，这里的“Matlab Function2”模块则是时变延迟的表达式，代码如下： function y = fcn(u) y=1+0.1*sin(u);这样逐个解释之后，大家应该能明白，咱们的“Variable Time Delay”模块输出的结果就是“$x(t-\tau(t))$”，我们将这个数据输入到“Matlab Function1”模块，能猜到“Matlab Function1”模块的代码吗？这个模块的输出和上面无时滞的汇合就是咱们整个系统的表达式，所以“Matlab Function1”模块的代码如下： function y = fcn(u) y=u; C=[-1.5 -0.1;-0.2 -2.5]; y=C*tanh(u);以上就是本框图的所有解释，为了得到相图，咱们还是像之前一样，写个m文件，读取输出数据，看看混沌行为，m文件和相图如下： clear all; clc; [t,x]=sim('test2',[0,150]); plot(x(:,1),x(:,2),'b'); xlabel('x_{1}(t)'); ylabel('x_{2}(t)');
2019.10.20 王飞 |
本文一开始提及，利用这些模块，我们可以处理中立时滞的微分方程组，事实上，中立时滞即时滞出现在导数项里面，也就是系统包含“$\dot{x}(t-\tau(t))$”这样的项，只要大家真的能将前面的框图和微分方程组对应起来，那就应该不难发现，积分器的输入数据就是系统状态导数的信息，积分器的输出数据就是系统的状态信息，因此，为了处理中立时滞，咱们只要在积分器前加一个反馈再处理时滞即可，以后找到合适的例子再补充。
咱们这里考虑的例子都是可以直接写成矩阵、向量形式的例子，事实上，如果无法写成这种形式（比如时滞只出现第一个分量，其余分量无时滞）的情况，咱们只需要借助“Bus Creator”模块即可，这个模块可以将整个系统拆分成一个个分量去输入，最后输出细节的处理大家可以自己探索一下。
这两天学了点simulink的皮毛，感觉这个对于没有基础的学生来说比敲代码要简单，脉冲控制和采样控制好像也是可以做的，后面我再摸索摸索，但是处理一些复杂情况比如分布式时滞、事件触发等我就不知道靠搭建这些方块行不行了，是不是必须得敲代码，以后再慢慢探索。我写这些博文只是为了实现自己想要实现的部分功能，怎么好理解怎么实现，并不一定是最简单的，但一定是对我来说最好理解的。总的来说，还是比较有意思的。
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