「自控原理」5.1 频率特性及其图示

本节介绍频率特性法的基本概念 本节介绍典型环节的幅相频率特性和对数频率特性 本节介绍绘制开环系统的Nyquist图和Bode图

前一章讲了根轨迹法，属于一种复域分析方法。而除了在复域中处理输入输出，还可以在频域中处理（实际上频域中处理更加常用），所以这里介绍频率特性分析法。 频域分析，实际上就是研究稳态正弦响应的 幅值 和 相角 随频率的变化规律。 频域分析法通过研究开环频率特性进而研究闭环稳定性及性能。 与根轨迹相同，也是一种图解分析法，所以方便实用但也有一定的近似性。

什么是频率响应？

频率特性是指线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率变化的规律性 比如在这里解出来uc(t)，里面含有 ω \omega ω，说明输出与输入的频率有关。这个规律就叫做频率特性 输出第一项将随着时间增大而趋于0，称为衰减信号或瞬态分量 而第二项是一个正弦函数形式，频率为 ω \omega ω，称为稳态分量 取出稳态分量，也就是得到稳态正弦响应。这个正弦函数的幅值 ∣ G ( j ω ) ∣ |G(j\omega)| ∣G(jω)∣和相位 ϕ ( ω ) \phi(\omega) ϕ(ω)均为频率 ω \omega ω的函数，因此可以构建一个频率传递函数，分别对应其幅值和相角，记为： G ( j ω ) = ∣ G ( j ω ) ∣ e j ϕ ( ω ) G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\phi(\omega)} G(jω)=∣G(jω)∣ejϕ(ω) G ( j ω ) G(j\omega) G(jω)就是系统的频率特性。

频率特性的定义

方法1: 分别定义幅值和相角 { ∣ G ( i ω ) ∣ = ∣ c s ( t ) ∣ ∣ r ( t ) ∣ ∠ G ( j ω ) = ∠ c s ( t ) − ∠ r ( t ) \left\{ \begin{aligned} |G(i\omega)|=&\frac{|c_s(t)|}{|r(t)|}\\ \angle G(j\omega)=&\angle c_s(t)-\angle r(t) \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧​∣G(iω)∣=∠G(jω)=​∣r(t)∣∣cs​(t)∣​∠cs​(t)−∠r(t)​ 这两个公式分别称为幅频特性和相频特性

方法2: 利用复域传递函数 G ( j ω ) = G ( s ) ∣ s = j ω G(j\omega)=G(s)|_{s=j\omega} G(jω)=G(s)∣s=jω​

方法3: 利用fourier变换 G ( j ω ) = C ( j ω ) R ( j ω ) G(j\omega)=\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} G(jω)=R(jω)C(jω)​ 也就是先通过复域传递函数，进行拉氏反变换，然后把s替换成 j ω j\omega jω，化简之后发现变成了傅氏反变换的形式，因此推导出这个公式。

接下来根据定义做一道例题： 由于稳态正弦响应一定是与输入频率相同的正弦函数，所以只需要确定出幅值和相位就可以写出函数了。

要表示系统频率特性，可以采用多种不同的方法：

也叫做极座标图。在复平面上，频率特性可以表示为一个向量，向量的长度表示频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角为频率响应的相位，这样就构成了Nyquist图。

比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节

现在再来看Nyquist图，颇有一种根轨迹的感觉。平面叫做G平面，也就是说平面上的每一个点都表示一个 G ( j ω ) G(j\omega) G(jω)。随着 ω \omega ω的取值从0到无穷，频率特性留下的轨迹就成为了幅相特性曲线。 根据一个点的位置，可以知道 G ( j ω ) G(j\omega) G(jω)的幅值和相位，但并不能直接读出 ω \omega ω 之前都是已知系统传递函数来画图。但也可以从Nyquist图反求系统传递函数：

震荡环节

震荡环节和之前最大的不同就是根据 ξ \xi ξ的不同，Nyquist图的形状也不同。

研究曲线的形状，求幅值的最值： 1.在 ξ \xi ξ较大时，随 ω \omega ω增大，幅值单调减小，也就是曲线一直趋近原点。时间响应该震荡依旧震荡 而 ξ \xi ξ较小时，随 ω \omega ω增大，幅值先增大后减小，也就是曲线先远离原点，再趋近原点。

2.引入谐振频率和谐振峰值来表示幅值最大点的频率和幅值。

由图像反求传递函数：

二阶复合微分环节

「这个不稳定二阶微分，还有前面的不稳定一阶复合微分，是我自己瞎取的名字，方便和不稳定震荡环节、不稳定惯性环节相对应」

延迟环节

之前是每一个环节分开来。现在直接从开环传递函数入手。仍然是分成幅值和相角两个方面分别计算，再合成为矢量。根据 ω \omega ω的变化绘制成曲线。 绘制开环幅相特性一般不要求高精度，所以根据起点、终点，大概勾勒出形状即可。如果有更高的要求，可以代入与实轴的交点等条件增加精度。

看这个例题： 也就是说不同的系统型别，开环幅相特性曲线朝向是不同的。而对于某一型的系统，可以根据这个例题，直接勾勒出对应的曲线形状。

来看个例题： 基本思路：实部虚部分开，计算与实轴的交点，找出渐近线，再根据相应系统的型别对应的曲线形状勾勒出曲线。

那如果不是0 1 2 3型系统，而是其他型别该怎么办？

那就先根据起点和终点勾勒出一个形状，再实部虚部分开计算与座标轴的交点，描绘曲线。

Nyquist图计算比较繁琐，而且无法直观看出每个零点和极点的影响。而Bode图更加方便因此工程实际中使用更多。 Bode图由对数幅频曲线和对数相频曲线两部分组成。

Bode图是画在半对数座标系里面的。 横轴：频率 ω \omega ω，但按照频率的对数 lg ⁡ ω \lg \omega lgω标定 纵轴1：对数幅值（Logarithm magnitude，简称Lm） L m G ( j ω ) = 20 lg ⁡ ∣ G ( j ω ) ∣ LmG(j \omega)=20\lg |G(j\omega)| LmG(jω)=20lg∣G(jω)∣，线性标定 纵轴2：相角，线性标定

两个纵轴都很好理解，一个是对幅值取对数×20，一个就是相角本身，也都是线性标度。 而对于横轴，由于划分刻度是按照对数，因此疏密不一。这里一定要注意：横座标上的某个点，直接读出其座标值，是频率，而不是频率对数 对数分度，有"等距等比"的性质，也就是当变量增大或减小10倍（记为dec，称为十倍频或者旬距）时，座标间的距离变化一个单位长度。

part1：比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节

惯性环节和一阶复合微分环节的特征是 ± 20 d B / d e c \pm20dB/dec ±20dB/dec

注意： 这里的 L ( ω ) L(\omega) L(ω)曲线都是画的直线，是经过了近似处理，为研究方便的。 φ ( ω ) \varphi(\omega) φ(ω)曲线全部都是中心对称的，这里只证明了一个。画的时候可以根据对称性更轻松画出。

震荡 二阶复合微分 延迟环节

震荡环节和二阶复合微分环节的特征是 ± 40 d B / d e c \pm40dB/dec ±40dB/dec

例题由图像倒求传递函数 概念有这么几个，了解即可。

转折频率

对数幅值频率特性拐弯的点 对于惯性、一阶复合微分： 1 T \frac{1}{T} T1​ 对于震荡、二阶复合微分： ω n \omega_n ωn​ 之前都是画的近似曲线，变成折线，但实际上在转折频率处 L ( ω ) L(\omega) L(ω)已经有改变了。以惯性环节为例，在转折频率处有-3dB的衰减

截止频率

对数幅值频率特性为0的点，也就是 ∣ G ( j ω c ) ∣ = 1 |G(j\omega_c)|=1 ∣G(jωc​)∣=1

在这里可以发现，绘制开环对数频率特性的时候，无论是对数幅值还是相角，都符合线性定理，可以根据多个典型环节叠加而来。

绘制开环Bode图的步骤

关于相角频率特性，这里只是大致勾勒一下。开环的相角频率特性同样是多个典型环节特性的叠加。 实在严谨的做图中，需要使用圆规测距描点，再连接成曲线。但因为工程实践不太看这个曲线，所以多做题根据手感勾一条一般问题不大。

紧接着借这道例题讲一下Nyquist图和Bode图的对应关系： 先看幅值，Bode图的一个幅值，对应Nyquist图上的一个圆，根据圆与曲线的交点就可以找出两图中对应的点。 再看相角，Bode图的一个相角，对应Nyquist图上的一条射线，同理可以找出两图对应的点。

例题：从对数频率特性反求传递函数 通过转折点、斜率可以知道系统的构型。本题全是直线， ξ \xi ξ是不可求的，因此要求的参数只有一个K。 除了这种方法，这道题还有很多别的方法 这里绿色框的近似处理，跟前面讲典型环节时的近似处理是一样的意思，如果代入 ω \omega ω后s项大于1，把1舍去；反之，把s项舍去。

最后在这里拓展一下： 首先是基准线的函数关系式： L ( ω ) = 20 l g ∣ K ω v ∣ L(\omega)=20lg|\frac{K}{\omega^v}| L(ω)=20lg∣ωvK​∣ 由此可以得出，已知基准线与横轴交点座标 ω 0 \omega_0 ω0​时： K = ω 0 v ， ω o = K 1 v K=\omega_0^v，\omega_o=K^{\frac{1}{v}} K=ω0v​，ωo​=Kv1​

先来看一道例题： 之前在没有给出相频特性的情况下，默认所有环节都是稳定的。但是如果给出了相频特性，就需要根据这条曲线来确定具体哪些环节稳定而哪些环节不稳定了。 「这里是用了代数的方法去计算相角，做题的时候也可以画零点极点分布图来帮助确定相角。」

在这里就涉及到了非最小相角系统： 在右半S平面存在开环零、极点，或带有纯延时环节的系统称为非最小相角系统。

如果更加直观的解释，就是系统的各个环节中，含有某一个或几个不稳定环节或者纯延时环节。 也就是前面那个例题，在+ -，- +，- -的情况下，都属于非最小相角系统。

之所以叫做非最小相角系统，是因为相比最小相角系统，非最小相角系统相角变化的绝对值一般更大

但值得注意的是：非最小相角系统未必不稳定

使用得比较少，只简单介绍一下。 相当于把Bode图的幅值、相角两条曲线合为一条。以相角 φ ( ω ) \varphi(\omega) φ(ω)为横座标，对数幅值 L ( ω ) L(\omega) L(ω)为纵座标，根据频率 ω \omega ω变化，描绘出对应的点形成的曲线。