时序分析 32

    上一篇文章中我们介绍了SARIMA模型，相比于ARIMA模型，SARIMA考虑了季节性因素。读过上篇文章的细心读者会发现，python的statsmodels对sarima的支持对象名为SARIMAX。事实上，确实存在一个时序分析模型称为SARIMAX(Seasonal Auto-Regressive Integrated Moving Average with eXogenous factors)，对比于SARIMA，所多的这个’X’代表exogenous，也就是说SARIMAX可考虑其他外部变量来协助对该时序数据进行建模。这种情况也是经常会出现的。

    本篇博文会结合一个例子来重新梳理一下时序分析预测中，从ARIMA -> SARIMA -> SARIMAX的整个过程。顺便说一下，另外一个时序模型名为ARIMAX；不言而喻，该模型就是在ARIMA模型的基础上增加了可考虑外部变量。

    本篇博文中所采用的数据是沃尔玛的销售数据集，可以从kaggle(https://www.kaggle.com/competitions/demand-forecasting-kernels-only)上获得。 此数据集中有5年的销售数据，分位train.csv和test.csv。本节我们的任务就是对此数据集进行时序建模并预测。

    上篇关于SARIMA的文章中，笔者并没有详细介绍SARIMA背后的数学模型。本文我们对比ARIMA模型简单介绍一下。这里面的数学比较复杂，读者不用太过在意，对此无兴趣的读者可略过这段内容。

我们先简单介绍一下加性模型和乘性模型。

   ARIMA是一个加性模型(Additive Model)，ARIMA(1,1,1)可以被下式描述， Δ y t = c + ϕ 1 Δ y t − 1 + θ 1 ϵ t − 1 + ϵ t \Delta y_t = c + \phi_1 \Delta y_{t-1} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_{t} Δyt​=c+ϕ1​Δyt−1​+θ1​ϵt−1​+ϵt​ 上式中 Δ \Delta Δ 是一阶差分操作符， ϵ t ∼ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon_{t} \sim N(0, \sigma^2) ϵt​∼N(0,σ2) ,上式可以改写成 ( 1 − ϕ 1 L ) Δ y t = c + ( 1 + θ 1 L ) ϵ t (1 - \phi_1 L ) \Delta y_t = c + (1 + \theta_1 L) \epsilon_{t} (1−ϕ1​L)Δyt​=c+(1+θ1​L)ϵt​ L L L是滞后算子(lag operator)，其运算规则为 L y t = y t − 1 ， L 2 y t = y t − 2 Ly_t=y_{t-1}，L^2y_t=y_{t-2} Lyt​=yt−1​，L2yt​=yt−2​

   大多数SARIMA模型是一个乘性模型(Multiplicative Model)，可以泛化为下式: ϕ p ( L ) ϕ ~ P ( L s ) Δ d Δ s D y t = A ( t ) + θ q ( L ) θ ~ Q ( L s ) ϵ t \phi_p (L) \tilde \phi_P (L^s) \Delta^d \Delta_s^D y_t = A(t) + \theta_q (L) \tilde \theta_Q (L^s) \epsilon_t ϕp​(L)ϕ~​P​(Ls)ΔdΔsD​yt​=A(t)+θq​(L)θ~Q​