§2.1 数值方法简介

2.1 

数值方法简介

科学计算是现代科学的三大组成部分之一，其核心内容是以计算机为工具、

以数学建模为基础的模拟研究。数值方法又称计算方法，它是科学计算的基础，

在国外数值方法被认为是

21

世纪的技术科学中最有用的两个数学研究领域的一

个。

数值方法的基础部分主要研究怎样借助计算机解决如下一些问题的计算或求

解：

1

怎样求解非线性方程的根

非线性方程的一般形式是

f(x)= 0 

这里

f(x)

是非线性函数。如怎样求方程

x 

3

 + 2x - cos(x) = 0

根

 ?

此类问题

在高等数学的介值定理中只给出了根的存在范围，

但没给出求根公式或方法。

计

算方法在解决此类问题中给出了很多有效的方法，

涉及的方法有二分法、

牛顿迭

代法和割线法等。

2

怎样求解大型线性方程组的解

线性方程组的解法在线性代数中给出了几种解法，

对低阶的线性方程组你可

能会解，

但对实用中的大型线性方程组

（如

10000



10000

阶）

你想过应怎样求解

吗？计算方法中的高斯消元法、

选主元法、

追赶法等就是求解这类问题的一些方

法。

3  

怎样利用函数的一组函数值来推断该函数的其他函数值、导数值或该函

数的近似函数

若已知某些变量存在函数关系但其关系式不知道，

或要处理的函数太复杂想

用一个较简单的函数取代之，

怎样解决这样的问题？前者是为一组离散数据建立

连续模型的问题，

而后者是函数逼近问题。

计算方法在解决此类问题中的方法有：

分段插值方法、样条插值方法，曲线拟合方法、数值微分等。

4

怎样求解定积分

若遇到一个不能用定积分基本公式计算的定积分、

或当被积函数的表达式过

于复杂，

怎样计算这样的定积分？计算方法可以很好的解决此类问题，

而且还能

计算反常积分。涉及方法有：复合梯形公式、复合

Simpson

公式、

Romberg

求积

公式、

Gauss

求积公式等。

5

怎样求常微分方程初值问题的解

常微分方程初值问题就是常微分方程特解问题，

在高等数学中只介绍几个典

型的常微分方程的解法，对一般的常微分方程，如怎样求方程

y



 + 2x - sin(xy) = 0 , y(0)=1 

特解？用高等数学中介绍方法将解不出来。

计算方法给出了在计算机上求解一般

常微分方程特解的方法，

涉及的方法有：

改进的

Euler

方法、

经典的

Runge-Kutta

方法和线性多步法等。

6

怎样求矩阵的特征值和特征向量

求矩阵的特征值及特征向量的问题在实际问题中也经常遇到，

在线性代数中

给出了方法，

同样那里的方法对低阶

（小于

5

阶）

的矩阵的特征值及特征向量求

解还能有效，

但对大于

4

阶的矩阵特征值及特征向量求解一般是很困难的。

计算

方法对此类问题也有有效的计算机解法，他们是：幂法、反幂法、

Jacobi

方法