一阶RC低通滤波电路数字化

其中， R R R为滤波电阻， C C C为滤波电容， U i U_{i} Ui​为输入电压， U 0 U_{0} U0​为输出电压。

U 0 = U i − R C d U 0 d t U_{0} = U_{i} - RC\frac{dU_{0}}{dt} U0​=Ui​−RCdtdU0​​

同时求拉氏变换，在零初始条件下可得： U 0 ( s ) = U i ( s ) − R C s U 0 U_{0}(s)=U_{i}(s)-RCsU_{0} U0​(s)=Ui​(s)−RCsU0​ 则传递函数： G ( s ) = U 0 ( s ) U i ( s ) = 1 1 + R C s G(s) = \frac{U_{0}(s)}{U_{i}(s)}=\frac{1}{1+RCs} G(s)=Ui​(s)U0​(s)​=1+RCs1​

已知传递函数，可利用双线性变换、一阶前向差分和一阶后向差分等方式求取 Z Z Z函数。 (1) 一阶后向差分 s = 1 − z − 1 T s=\frac{1-z^{-1}}{T} s=T1−z−1​ 其中， T T T为离散周期，也就是采样周期。 写成 Z Z Z函数为： Y ( Z ) = T T + R C X ( Z ) + R C T + R C Y ( Z ) Z − 1 Y(Z) = \frac{T}{T+RC}X(Z)+\frac{RC}{T+RC}Y(Z)Z^{-1} Y(Z)=T+RCT​X(Z)+T+RCRC​Y(Z)Z−1 写成差分方程为： y ( n ) = T T + R C x ( n ) + R C T + R C y ( n − 1 ) y(n) = \frac{T}{T+RC}x(n)+\frac{RC}{T+RC}y(n-1) y(n)=T+RCT​x(n)+T+RCRC​y(n−1) (2) 双线性变换 s = 2 T 1 − Z − 1 1 + Z − 1 s = \frac{2}{T} \frac{1-Z^{-1}}{1+Z^{-1}} s=T2​1+Z−11−Z−1​ 写成 Z Z Z函数为： Y ( Z ) = T T + 2 R C X ( Z ) + T T + 2 R C Z − 1 X ( Z ) + 2 R C − T T + 2 R C Z − 1 Y ( Z ) Y(Z) = \frac{T}{T+2RC}X(Z) + \frac{T}{T+2RC}Z^{-1}X(Z)+\frac{2RC-T}{T+2RC}Z^{-1}Y(Z) Y(Z)=T+2RCT​X(Z)+T+2RCT​Z−1X(Z)+T+2RC2RC−T​Z−1Y(Z)

按照一阶差分方程的形式： y ( n ) = a ∗ x ( n ) + ( 1 − a ) ∗ y ( n − 1 ) y(n) = a * x(n) + (1 - a)*y(n-1) y(n)=a∗x(n)+(1−a)∗y(n−1) 其中， a a a是一个和采样周期及RC有关的参数： a = T T + R C a = \frac{T}{T+RC} a=T+RCT​ a为小于1的数，在实际可以通过右移的方式实现。 1 a = T + R C T = 1 + R C T \frac{1}{a} = \frac{T+RC}{T} =1+ \frac{RC}{T} a1​=TT+RC​=1+TRC​ 此时，根据RC电路截止频率公式计算可得： f L = 1 2 π R C = a 2 π T ( 1 − a ) f_{L} =\frac{1}{2 \pi RC}= \frac{a}{2\pi T(1-a)} fL​=2πRC1​=2πT(1−a)a​ 根据RC电路延迟时间公式计算可得： t τ = R C = ( 1 a − 1 ) T t_{\tau}=RC=(\frac{1}{a}-1)T tτ​=RC=(a1​−1)T