Schur分解定理

设 A ∈ C n × n \mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n\times n} A∈Cn×n,则存在酉矩阵 U \mathbf{U} U,和上三角矩阵 T \mathbf{T} T,使得 A = U T U H \mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^{H} A=UTUH 证明： 利用数学归纳法

当 k = 1 k=1 k=1时显然成立 假设 k = n − 1 k=n-1 k=n−1时成立 当 k = n k=n k=n 设 λ 1 \lambda_1 λ1​是 A \mathbf{A} A的特征值， β 1 \mathbf{\beta}_1 β1​是 A \mathbf{A} A的特征值 λ 1 \lambda_1 λ1​对应的单位特征向量 A β 1 = λ 1 β \mathbf{A}\mathbf{\beta}_1=\lambda_1\mathbf{\beta} Aβ1​=λ1​β

将 β 1 \mathbf{\beta}_1 β1​扩充为 C n \mathbb{C}^n Cn上一组单位正交基 设 B = ( β 1 , ⋯   , β n ) \mathbf{B}=\left(\mathbf{\beta}_1,\cdots,\mathbf{\beta}_n\right) B=(β1​,⋯,βn​) 则 B H A B = ( β 1 H A β 1 β 1 H A β 2 ⋯ β 1 H A β n ⋮ ⋮ β n H A β 1 ⋯ ⋯ β n H A β n ) = ( λ 1 ∗ 0 A 1 ) \mathbf{B}^H\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix} \mathbf{\beta}_1^H\mathbf{A}\mathbf{\beta}_1&\mathbf{\beta}_1^H\mathbf{A}\mathbf{\beta}_2&\cdots&\mathbf{\beta}_1^H\mathbf{A}\mathbf{\beta}_n\\ \vdots&&&\vdots\\ \mathbf{\beta}_n^H\mathbf{A}\mathbf{\beta}_1&\cdots&\cdots&\mathbf{\beta}_n^H\mathbf{A}\mathbf{\beta}_n\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1&*\\ \mathbf{0}&\mathbf{A}_1 \end{pmatrix} BHAB=⎝⎜⎛​β1H​Aβ1​⋮βnH​Aβ1​​β1H​Aβ2​⋯​⋯⋯​β1H​Aβn​⋮βnH​Aβn​​⎠⎟⎞​=(λ1​0​∗A1​​) 因为假设 k = n − 1 k=n-1 k=n−1时成立， A ∈ C n − 1 \mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n-1} A∈Cn−1 所以存在酉矩阵 V 1 \mathbf{V}_1 V1​，上三角矩阵 T 1 \mathbf{T}_1 T1​,使得 V 1 H A 1 V 1 = T 1 \mathbf{V}_1^H\mathbf{A}_1\mathbf{V}_1=\mathbf{T}_1 V1H​A1​V1​=T1​ 于是 ( 1 0 T 0 V 1 ) H ( λ 1 ∗ 0 A 1 ) ( 1 0 T 0 V 1 ) = ( λ 1 ∗ 0 T 1 ) \begin{pmatrix} 1&\mathbf{0}^T\\ \mathbf{0}&\mathbf{V}_1 \end{pmatrix}^H\begin{pmatrix} \lambda_1&*\\ \mathbf{0}&\mathbf{A}_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&\mathbf{0}^T\\ \mathbf{0}&\mathbf{V}_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1&*\\ \mathbf{0}&\mathbf{T}_1 \end{pmatrix} (10​0TV1​​)H(λ1​0​∗A1​​)(10​0TV1​​)=(λ1​0​∗T1​​) 令 U = B ( 1 0 T 0 V 1 ) , T = ( λ 1 ∗ 0 T 1 ) \mathbf{U}=\mathbf{B}\begin{pmatrix} 1&\mathbf{0}^T\\ \mathbf{0}&\mathbf{V}_1 \end{pmatrix},\mathbf{T}=\begin{pmatrix} \lambda_1&*\\ \mathbf{0}&\mathbf{T}_1 \end{pmatrix} U=B(10​0TV1​​),T=(λ1​0​∗T1​​) 有 A = U T U H \mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^{H} A=UTUH 由数学归纳法，结论成立