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单服务台模型 设输入过程服从泊松流,服务时间服从负指数分布,单服务台 (1)标准型:M\M\1\∞\∞(M\M\1) 符号解析: 顾客源符合泊松分布,到达时间间隔服从负指数分布 服务时间相互独立,都服从负指数分布 “1”代表单服务台 顾客源和顾客容量无限 状态变换表 现在考虑在t+Δt时刻有n个顾客,即状态为n,概率为Pn (t+Δt) 于是我们得到: 两端除以Δt,当Δt→0时 综上,我们已经得到了系统状态为n的概率的表达式。 如何计算数量指标? i. 平均系统队长(包含正在被服务的那个对象) 在概率论中,平均值用数学期望来刻画。针对于队长来说,n的取值是非负整数,即是离散型的随机变量,所以我们使用离散型随机变量的均值计算公式: ii. 平均队列长(不包含正被服务的对象,且当前讨论的为单服务台) iii. 平均逗留时间 若一个顾客到达了系统,系统内已经有了k个顾客,(这个事件发生的概率即系统状态为k的概率P_k)则该顾客需要等候平均等待时间k/μ才能轮到被服务,而他本人的平均服务时间为1/μ,所以他在系统内花时间的平均值为(k+1)/μ 。 iv. 平均等待时间(平均逗留时间减去被服务的时间) c. Little公式 d. 稳态概率方程的简便写法 由上可知,稳态概率方程的求解步骤较为复杂,下面介绍一种简便的方法来写出稳态概率方程——状态转移图 针对讨论的模型M/M/1 我们引入“概率流”的概念,将系统的某一状态看做一个横截面,那么流入这个横截面的“水流量”必定等于流出这个横截面的“水流量”。 我们针对某一个截面,写出“水流守恒”表达式,要注意的是状态为0时的守恒需要单独给与表达式: (2) 系统容量有限型:M\M\1\N\∞ 模型含义:顾客到达时间服从泊松分布,到达时间间隔服从负指数分布,服务时间服从负指数分布,单服务台。但排队系统的容量是有限的N。 我们利用上述的状态转移图,稍作修改: 我们先根据上图写出状态转移方程 由于系统容量有限,所以顾客能否进入系统是与系统容量息息相关的。这里我们需要引入一个概念——有效到达率λ_e 而且由于系统的状态与系统容量相关,所以前面的状态归一性表达式也要发生变化: (3)顾客源有限型:M\M\1\∞\m 顾客源只有m个顾客,每个来到并接受服务后,仍然回到顾客整体,即可以再次到来接受服务,所以实际上排队系统中的顾客数永远不会超过m个,即与模型M/M/1/m/m意义相同 要注意的是这里仍然存在有效到达率的概念,根据上述的理解: λe=λ(m-Ls) 其中m-Ls表示还能允许的强度,λ表示每个人的强度,相乘得到有效的强度 然后利用归一性再重新计算P0和平均队长等指标即可。 (4) 排队论问题建模流程 多服务台模型 (1)标准型:M/M/c 顾客流为泊松流,每个窗口的服务率为μ,那么整个机构的平均服务率则有以下的两种情况: 平均服务率:nμ-----n<c 平均服务率:cμ-----n≥c 令ρ=λ/cμ,称为系统服务强度,当ρ>1时会出现排队现象 我们写出系统稳态概率方程: 之后根据P0解出数量指标即可。 (2) 系统容量有限型:M/M/c/N/∞ 当系统最大容量为N(N≥c),当系统客满时有c个接受服务,N-c在排队,在有顾客来会被拒绝服务,服务率的情况和系统服务强度同(1) (3) 顾客源有限型:M/M/c/∞/m 等价于M/M/c/m/m |
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