复数基础与二维空间旋转

本文我们讨论复数及其旋转的含义。复数很有意思，本文介绍了复数的基本定义和性质，以及它关于旋转的几何意义。

复数对于旋转的表示非常重要：

1. 它引入了旋转算子（rotational operator）的思想：可以通过复数表示一个旋转变换。

2. 它是四元数和多向量的内在属性。

虽然我们暂时不讨论四元数和多向量（后面文章会介绍），但是我们会讨论复数的旋转含义（复平面上的 2D 旋转），以及引入的旋转子（rotor），我们发现通过特定的复数可以描述一个 2D 旋转。

复数（complex number）又称为数字王国中的“国王”，它可以解决普通实数不能很好解决的问题。

例如，对于以下方程：

$$x^2+1=0$$

尽管方程如此简单，但并没有实数解。实际上，实数无法解决这样的问题：

$$x=\sqrt{-1}$$

但这没有妨碍数学家们找到解决此类问题的方法，他们提出一个很牛很简单的思想，就是承认 $i$ 的存在，它满足 $i^2=-1$，于是前面的方程我们可以解出：

$$x=\pm i$$

那么 $i$ 到底是什么呢？我们可以不必纠结，$i$ 就是数学家提出的数学工具，一个简单的数学对象，满足 $i^2=-1$。本文会探讨这个数学工具对于旋转如何发挥作用。

复数由两个部分组成：实部（real part）和虚部（imaginary part）。实部就是我们平常遇到的数（正数、负数、0），而虚部是一个实数和 $i$ 的乘积。

例如，$2+3i$ 是一个复数，2 是实部，$3i$ 是虚部。

复数集就像是实数集的扩展，它包含了所有实数（虚部为 0）。而虚部不为 0 的复数不是实数。以下都属于复数：

不过在 Python 中，复数的 $i$ 符号用 $j$ 表示，在 Jupyter 中运行 Python：

输出：

下面的公理体现了复数的性质。对于任意的复数 $z_1$、$z_2$ 和 $z_3$，满足：

其实复数的这些加法和乘法的公理和实数一样的。由于复数集里面包含实数集，如果不和实数一致，反而比较奇怪的。

模（modulus）有长度的含义。对于复数 $z=a+bi$，它的模定义为：

$$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}$$

例如，$3+4i$ 的模为 5。

后面我们会看到，模定义在复数的极坐标表示中的作用。

例子：

输出：

对于两个复数：$z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其加减法为

$$z_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)i$$

即实部和虚部分别相加减。

例子：

输出：

标量乘法同样符合我们的直觉。对于标量 $\lambda$ 和复数 $a+bi$，有

$$\lambda(a+bi)=\lambda a+\lambda bi$$

例如：

$$2(3+5i)=6+10i$$

输出：

两个复数的乘积就是各项分别相乘并相加。对于两个复数 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，有

\begin{align*}z_1z_2 &= (a+bi)(c+di)\\ &= ac+adi+bci+bdi^2\\ &= (ac-bd)+(ad+bc)i\end{align*}

例如，对于 $z_1=3+4i$ 和 $z_2=5-2i$，有

\begin{align*}z_1z_2 &= (3+4i)(5-2i)\\ &= 15-6i+20i-8i^2\\ &= 23+14i\end{align*}

可以看到。两个复数的加减和乘积都是一个复数。

输出：

两个复数相乘还有个特殊情况：

\begin{align*} (a+bi)(a-bi)&=a^2-b^2i \\ &= a^2+b^2\end{align*}

其中 $a-bi$ 称作是 $a+bi$ 的共轭复数（conjugate complex number），又称复共轭、复数共轭。

更一般的定义，$z=a+bi$ 的共轭复数用 $\bar{z}$ 或 $z^*$ 表示，其中：

$$z^*=a-bi$$

而

$$zz^*=a^2+b^2=\left |z  \right |^2$$

例子：

输出：

利用共轭复数的性质，我们再来看复数的除法。

对于 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其中 $z_2\neq 0$。

那么，

\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{z_1z_2^*}{z_2z_2^*} \\ &= \frac{z_1z_2^*}{\left | z_2 \right |^2} \\ &= \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \\ &= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\end{align*}

例子：

\begin{align*}\frac{4+3i}{3+4i}&=\frac{(4*3+3*4)+(3*3-4*4)i}{3^2+4^2} \\ &= \frac{24}{25}-\frac{7}{25}i\end{align*}

输出：

已知一个复数 $z\neq 0$，定义它的逆 $z^{-1}=\frac{1}{z}$。利用共轭复数的性质，我们可以推导：

$$\frac{z^{-1}}{z^*}=\frac{1}{zz^*} = \frac{1}{\left | z \right |^2}$$

$$\Rightarrow z^{-1}=\frac{z^*}{\left | z \right |^2}$$

例子：

\begin{align*}\frac{1}{3+4i} &=(3+4i)^{-1} \\ &= \frac{3-4i}{25} \\ &= \frac{3}{25}-\frac{4}{25}i\end{align*}

检查：$(3+4i)(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i)=\frac{9}{25}-\frac{12}{25}i+\frac{12}{25}i+\frac{16}{25}=1$

输出：

首先，考虑一条实数轴，想象对于一个实数而言，与它的相反数究竟有什么关系？

我们可以把相反数看成：原实数绕原点旋转了 180°。

例如，“2” 旋转 180° 后变成 -2，“-3” 旋转 180° 后变成 “3”。由于复数的定义，我们可以把相反数 $-n$ 写成：

$$-n=i^2n$$

于是我们可以把乘以 $i^2$ 看成是绕原点 180° 的旋转。那么乘以 $i$ 表示什么呢？

90° 的旋转。

当我们用复数的实部和虚部构建一个 2D 坐标系，这就是复平面（complex plane）。复平面的横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

使用复平面，我们来观察这个 90° 的旋转是什么意思。

下面我们画出 4 个复数：$z_1=1+2i$、$z_2=-2+i$、$z_3=-1-2i$、$z_4=2-i$，它们分别可以代表 4 个长度相等的向量：$u$、$v$、$w$、$a$。之所以长度相等，是因为这 4 个复数的模相等。

我们可以看到它们依次逆时针旋转 90°。例如，

对 $u$ 旋转 90°：$i(1+2i)=-2+i=v$，得到 $v$。

对 $v$ 旋转 90°：$i(-2+i)=-1-2i=w$，得到 $w$。

对 $w$ 旋转 90°：$i(-1-2i)=2-i=a$，得到 $a$。

对 $a$ 旋转 90°：$i(2-i)=1+2i=u$，得到 $u$。

于是我们发现，要对一个复数（这个复数在复平面可以表示为一个 2D 向量）旋转 90°，只需乘以 $i$ 即可。

几百年前，Euler 通过复平面把复数画了出来，而其中蕴含的“复数可以表示旋转”的思想，在现在很多领域得到了应用。

我们再整理一下上两节的内容。我们实际上发现：复数在几何上的有一些有意思的性质。

如果我们用复数来表示一个 2 维直角坐标系上的向量的话（当然复数是一个数学工具，也可以表示其他含义），看起来乘以 $i$ 表示旋转 90°。

那么自然地，我们就会去进一步思考，如果旋转任意角度应该怎么表达呢？旋转 45° 究竟是乘以 $\frac{1}{2}i$，还是乘以 $\sqrt{i}$，还是乘以其他的什么东西？

以及，为什么乘以复数会表示旋转？

为了解决这两个问题，我们开始引入复平面上的极坐标表示。

在这样的极坐标下，复数 $z=a+bi$ 可以通过长度 $\left r=| z \right |$ 和角度 $\theta=arg(z) $ 来唯一确定。

长度 $r$ 等于复数的模，而角度 $\theta$ 是实数轴和复数所表示的向量的夹角，称为幅角（argument），记为 $arg(z)$。接下来根据三角函数，我们有 $a=rcos\theta $ 和 $b=rsin\theta $，于是可以得到：

\begin{align*} z&=a+bi \\ &=rcos\theta+irsin\theta \\ &=r(cos\theta+isin\theta) \end{align*}

根据欧拉公式 $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，复数的极坐标表示可以写成更为简洁的形式：

$$z=re^{i\theta}$$

Euler 提出的欧拉公式体现了自然底数 $e$ 和三角函数 $sin\theta$、$cos\theta$ 之间的关系。

关于它的含义一眼看去并不直观。欧拉方程的其中一种证明方法是利用泰勒级数展开式把 $e^x$ 、$cosx$ 和 $sinx$ 关联起来。以下是简单证明。

根据级数展开：

$$e^{i\theta}=1+(i\theta)+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+...$$

$$cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+...$$

$$sin\theta=1-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+...$$

根据复数的定义 $i^2=-1$，于是有：

\begin{align*}e^{i\theta} &= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}- \frac{\theta^6}{6!} - i\frac{\theta^7}{7!}+...\\ &= (1-\frac{\theta^2}{2!}+ \frac{\theta^4}{4!}- \frac{\theta^6}{6!}+...)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+...) \\ &=cos\theta+isin\theta\end{align*}

到了这种表达形式后，我们再看两个复数的乘法，就会发现它的几何含义。

给定两个任意用极坐标表示的复数：$z_1=r_1e^{i\theta _1}$ 和 $z_2=r_2e^{i\theta _2}$。那么我们会得到：

\begin{align*}z_1z_2 &= r_1r_2e^{i\theta _1}e^{i\theta _2} \\ &= r_1r_2e^{i(\theta _1+\theta _2)}\end{align*}

可以看到，两个复数的乘积得到另一个复数。

它的模等于两个复数的模的乘积：$\left | z_1z_2 \right |=r_1r_2$。

它的幅角等于两个复数的幅角的和：$arg(z_1z_2)=\theta _1+\theta _2$

于是看起来，考虑复平面这个几何情形，乘以一个复数，可以同时带来两种变换的效果。

1. 长度的缩放（通过改变模长）。

2. 旋转（通过改变幅角）。

接下来一个很自然的想法，就是：乘以一个什么样的复数，不会产生缩放，只会产生旋转？

显然，通过前面极坐标下自然底数的表达形式的推导，我们知道乘以一个模为 1 的复数时，不会导致缩放，只会产生旋转。

这样的复数就称为旋转子（rotor），旋转子提供了“纯”旋转动作的数学表示，它可以将复数旋转任意角度。一般而言，将复数旋转角度 $\theta$ 的旋转子定义为：

$$R_\theta =cos\theta + isin\theta =e^{i\theta}$$

例如，对于复数 $2+2i$，我们如果需要对它进行逆时针 45° 的旋转，需要乘以：

$$1\cdot e^{i\cdot 45^{\circ}}=cos45^{\circ}+isin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$

我们通过手算计算出其乘积为 $2\sqrt{2}i$

$$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)(2+2i)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i^2=2\sqrt{2}i$$

如果通过 Python 计算会得到其对应的结果：

输出：

通过下图，我们看到了旋转子的“纯”旋转效果。

接下来，我们看看旋转子的共轭复数是什么。由于旋转子模为 1，而根据前面共轭复数和逆的定义，我们不难证明：旋转子的共轭复数等于该旋转子的逆。

对于旋转子 $R_\theta=e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，

它的共轭复数：$(R_\theta)^*=cos\theta-isin\theta=cos(-\theta)+isin(-\theta)=R_{-\theta}$

它的逆：$e^{i\theta}e^{-i\theta}=1\Rightarrow (R_\theta)^{-1}=e^{-i\theta}=R_{-\theta}$

那么接着前面的例子，$z_1$ 乘以 $z_2$ 的共轭复数（或者逆）后的效果，是顺时针旋转 45°。

$z_2$ 的共轭复数（或者逆）为：$R_{-\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

手算：$(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(2+2i)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i+\sqrt{2}i-\sqrt{2}i^2=2\sqrt{2}$

用代码计算结果：

输出：

最后再看看复平面图，确认复数 $z_1$ 沿着相反方向旋转 45°：

 “逆”的含义也在于此，既然旋转子表示旋转任意角度，那么它的逆就应该是“抵消”这种旋转效果，于是它的作用就是朝相反的方向旋转对应的角度。

到此为止，我们已经可以用复数表示二维空间的任意旋转角度，并且利用复数的逆/共轭复数来表示旋转的抵消作用。后面我还会继续发布与旋转有关的文章。

原文作者：何雨龙原文链接：https://www.cnblogs.com/noluye/p/11964513.html许可协议：知识共享署名-非商业性使用 4.0 国际许可协议