复高斯分布的概率密度函数 probability distribution functions (PDFs)

复高斯分布（Complex Gaussian Distribution）是一种描述复数随机变量的概率分布。对于一个复随机变量 ( Z )，其复高斯分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）通常表示为：

[ f Z ( z ) = 1 π σ 2 e − ∣ z − μ ∣ 2 σ 2 f_Z(z) = \frac{1}{\pi \sigma^2} e^{-\frac{|z-\mu|^2}{\sigma^2}} fZ​(z)=πσ21​e−σ2∣z−μ∣2​ ]

其中：

需要注意的是，这里的复数 ( z z z ) 和 ( μ \mu μ ) 是复平面上的值。这样定义的复高斯分布是二维的，包括实部和虚部。

对于一维的复高斯分布，即只考虑实部或虚部的情况，概率密度函数会略有不同，但整体形式仍然类似。

如果一个向量 ( Z \mathbf{Z} Z ) 的每个元素都服从复高斯分布，那么整个向量 ( Z \mathbf{Z} Z ) 的概率密度函数可以通过各个元素的概率密度函数的乘积来表示。

假设 ( Z \mathbf{Z} Z ) 是一个包含 ( N N N ) 个元素的复向量，其中每个元素 ( Z i Z_i Zi​ ) 都是复高斯分布的随机变量。那么，( Z \mathbf{Z} Z ) 的概率密度函数可以表示为：

[ f Z ( z ) = ∏ i = 1 N f Z i ( z i ) f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = \prod_{i=1}^{N} f_{Z_i}(z_i) fZ​(z)=∏i=1N​fZi​​(zi​) ]

其中：

这个表示假设各个元素之间是相互独立的。这种情况下，整个复向量的概率密度函数就是各个元素概率密度函数的乘积。

如果你希望考虑一个矩阵的情况，其中每个元素都是复高斯分布的随机变量，你可以采用类似的思路。

假设矩阵 ( Z \mathbf{Z} Z ) 是一个 ( M × N M \times N M×N ) 复矩阵，其中每个元素 ( Z i j Z_{ij} Zij​ ) 是一个复高斯分布的随机变量。那么，整个矩阵 ( Z \mathbf{Z} Z ) 的概率密度函数可以表示为各个元素概率密度函数的乘积。这是基于独立同分布的假设，即矩阵的各个元素之间是相互独立的。

[ f Z ( z ) = ∏ i = 1 M ∏ j = 1 N f Z i j ( z i j ) f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = \prod_{i=1}^{M} \prod_{j=1}^{N} f_{Z_{ij}}(z_{ij}) fZ​(z)=∏i=1M​∏j=1N​fZij​​(zij​) ]

其中：

需要注意的是，这种表示假设矩阵的各个元素是相互独立的，这在某些情况下可能不符合实际情况。如果矩阵的元素之间存在相关性，那么概率密度函数的表示可能会更为复杂。

Robust Beamfocusing for FDA-Aided Near-Field Covert Communications With Uncertain Location 2023 IEEE ICC

Let ( D w , θ w ) \left(D_{\mathrm{w}}, \theta_{\mathrm{w}}\right) (Dw​,θw​) denote the location of Willie. We assume Willie is synchronized with Alice with the full knowledge of the carrier frequencies, and the channel vector h H ( D w , θ w ) \mathbf{h}^{H}\left(D_{\mathrm{w}}, \theta_{\mathrm{w}}\right) hH(Dw​,θw​) . This is the worst case for legitimate nodes to analyze the lower bound of covert communications performance. The hypothesis test at Willie is given by

{ H 0 : y w ( n ) = z w ( n ) , H 1 : y w ( n ) = h w H w s ( n ) + z w ( n ) , \left\{\begin{array}{l} \mathcal{H}_{0}: y_{\mathrm{w}}^{(n)}=z_{\mathrm{w}}^{(n)}, \\ \mathcal{H}_{1}: y_{\mathrm{w}}^{(n)}=\mathbf{h}_{\mathrm{w}}^{H} \mathbf{w} s^{(n)}+z_{\mathrm{w}}^{(n)}, \end{array}\right. {H0​:yw(n)​=zw(n)​,H1​:yw(n)​=hwH​ws(n)+zw(n)​,​

where h w H \mathbf{h}_{\mathrm{w}}^{H} hwH​ is short for h H ( D w , θ w ) \mathbf{h}^{H}\left(D_{\mathrm{w}}, \theta_{\mathrm{w}}\right) hH(Dw​,θw​) , and z w ( n ) ∼ C N ( 0 , σ w 2 ) z_{\mathrm{w}}^{(n)} \sim \mathcal{C N}\left(0, \sigma_{\mathrm{w}}^{2}\right) zw(n)​∼CN(0,σw2​) is the AWGN at Willie with noise power σ w 2 \sigma_{\mathrm{w}}^{2} σw2​ . From (5), the probability distribution functions (PDFs) of y w = [ y w ( 1 ) , y w ( 2 ) , … , y w ( N ) ] T \mathbf{y}_{\mathrm{w}}= \left[y_{\mathrm{w}}^{(1)}, y_{\mathrm{w}}^{(2)}, \ldots, y_{\mathrm{w}}^{(N)}\right]^{T} yw​=[yw(1)​,yw(2)​,…,yw(N)​]T under H 0 \mathcal{H}_{0} H0​ and H 1 \mathcal{H}_{1} H1​ can be derived as

P 0 ≜ P ( y w ∣ H 0 ) = 1 π N σ w 2 N e − y w H y w σ w 2 \mathbb{P}_{0} \triangleq \mathbb{P}\left(\mathbf{y}_{\mathrm{w}} \mid \mathcal{H}_{0}\right)=\frac{1}{\pi^{N} \sigma_{\mathrm{w}}^{2 N}} e^{-\frac{\mathbf{y}_{\mathrm{w}}^{H} \mathbf{y}_{\mathrm{w}}}{\sigma_{\mathrm{w}}^{2}}} P0​≜P(yw​∣H0​)=πNσw2N​1​e−σw2​ywH​yw​​

and：

P 1 ≜ P ( y w ∣ H 1 ) = 1 π N ( ∣ h w H w ∣ 2 + σ w 2 ) N e − y w H y w ∣ h w H ∣ 2 + σ w 2 \mathbb{P}_{1} \triangleq \mathbb{P}\left(\mathbf{y}_{\mathrm{w}} \mid \mathcal{H}_{1}\right)=\frac{1}{\pi^{N}\left(\left|\mathbf{h}_{\mathrm{w}}^{H} \mathbf{w}\right|^{2}+\sigma_{\mathrm{w}}^{2}\right)^{N}} e^{-\frac{\mathbf{y}_{\mathrm{w}}^{H} \mathbf{y}_{\mathrm{w}}}{\left|\mathbf{h}_{\mathrm{w}}^{H}\right|^{2}+\sigma_{\mathrm{w}}^{2}}} P1​≜P(yw​∣H1​)=πN(∣hwH​w∣2+σw2​)N1​e−∣hwH​∣2+σw2​ywH​yw​​