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这个圆锥曲线结论与蒙日圆有什么内在关系？
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首先，反向延长 BO 交蒙日圆于 D , 连 AD ，显然 AD 与椭圆相切. 根据 e^2-1 的结构，很容易联想到先把切点弦连起来：  图1此时只需要证明 AD 平分 XY , 便可同时知道 XY//BD ， k_{OA}\times k_{XY} = e^2-1 也就有了 k_{OA}\times k_{BD} = e^2-1 即题设结论. 问题在于，如何证明 AD 平分 XY ？这边我卡了很久…… 由于中点，又伴随切点弦的结构，很容易联想到极点极线以及调和性质. 更何况，我先猜了一下，这个性质与 AB,AD 是否垂直没有关系：  图2，画个图检验一下猜想嗯，那一定是猜对了. 所以怎么证呢？ 艹！我自己出过这道题目，现在却忘记了！啊啊啊啊啊啊啊啊啊（发疯中，请忽略此行） 其实这个问题可以由一个更强的结论导出： 结论1：对于图2的模型，任作一条与 CD 平行的直线截椭圆于 M,N , 截两条切线于 P,Q 那么线段 MN,PQ 共中点.共中点？这个名词是不是很熟悉？你一定会想到这个模型：  图3，谁tm能想到椭圆的题要靠双曲线的渐近线去联想？是的， 结论2：双曲线上，任意一条割线所截双曲线与渐近线的线段共中点.你可能还没反应过来，让我们先回顾一下这个是怎么证的：  图4重新作图, O 为双曲线中心, OU, OV 为两条渐近线, 分别与双曲线相切于 U, V 两点. 作直线 AB 与双曲线交于 A, B, 与渐近线交于 C, D 两点. 无穷远直线 UV 与 AB 相交于 G . 作 CD 中点 E , 只需证明 E 同时为 AB 的中点即可. 由于 G 在无穷远直线上，所以 G 为无穷远点 , 则有 (CD, EG) = -1, 连 OE 交 UV 于 F . 由射影对应的保交比性质, 有 (UV, FG)=-1. 由极点极线的几何作法, 知 OF 为 G 的极线（相当于原本割线与椭圆的两个交点退化为一个切点，所以 G 的极线一定经过 O；而 F 点恰好满足极线带来的调和的性质，因此极线就是 OF）, 因此 (AB, EG) = (UV, FG) = -1, 故 E 为 AB 中点. 共中点结论证毕. 同样地，要想证明 结论1 ，相当于把 图4 中双曲线看成正常的椭圆，又 UV//CD , 所以 G 还是无穷远点，上面所有证明步骤几乎都可以照抄： 由于 G 是两条平行线的交点，所以 G 为无穷远点 , 则有 (CD, EG) = -1, 连 OE 交 UV 于 F . 由射影对应的保交比性质, 有 (UV, FG)=-1. 由极点极线的几何作法, 知 OF 为 G 的极线（相当于原本割线与椭圆的两个交点退化为一个切点，所以 G 的极线一定经过 O；而 F 点恰好满足极线带来的调和的性质，因此极线就是 OF）, 因此 (AB, EG) = (UV, FG) = -1, 故 E 为 AB 中点. 共中点结论证毕.相信你已经学会证明 结论1 了，那么我们可以套用这个结论来证我们想要的东西： 作直线 XY 过 O 且与 CD 平行交椭圆于 M,N :  图5设 CD,XY 交于 G_{\infty} . 因为 MO=NO , 由 结论1 知 XO = YO , 因为 (XY,OG_{\infty}) = (CD,FG_{\infty}) = -1 , 故 CF=DF . 当然这里我是因为先知道结论才这么写的，你也可以在证明那个结论的时候直接证出 CF=DF . 好了，相信你已经了解这题的背景和思路了，具体的解题步骤还需您自己完善. 糟，又被 sumeragi 大神抢先答了，呜呜呜…… |
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