圆的弦切角定理证明(圆的弦切角定理证明题目)

圆的弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

圆的弦切角定理及其推导过程

圆的弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

圆的弦切角定理推导过程

已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

证明：设圆心为O，连接OC，OB,

∵∠OCB=∠OBC ∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC ∴∠OCB=90°-∠BAC ∴∠BAC=90°-∠OCB

又∵∠TCB=90°-∠OCB ∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

圆的切线定理

1.垂直于过切点的半径;经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线的性质：

(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

弦切角定理的证明方法如下：

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧。求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：

分三种情况：圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆，∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。圆心O在∠BAC的内部。过A作直径AD交⊙O于D，在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径。

以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。

注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A，B不重合的点。

解释弦切角:

首先请楼主画个圆,

圆上取两点,

连起来,

然后过一点做切线,

这样刚才做的连线和切线形成的角就是弦切角.

弦切角定理就是弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

弦切角定理的6种证明方法如下：

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明：设圆心为O，连接OC，OB∵∠OCB=∠OBC∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC∴∠OCB=90°-∠BAC∴∠BAC=90°-∠OCB又∵∠TCB=90°-∠OCB∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

简介：

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

弦切角定理的证明：做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互余，其中非经过切点的一个角称为∠P，与∠A为同弧上的圆周角，所以相等。

即∠A=∠P。因为过切点的直径垂直于切线，这个直径和切线组成的角为直角，弦把这个角分成两个互余小角：弦切角和那个与∠P（=∠A）互余的角。由于其中一角既和∠A互余又和弦切角互余，所以弦切角=∠A，即弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等。

弦切角定理示范

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆

(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D

弦切角定理介绍

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。)

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图所示

线段PT所在的`直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理衍生问题及其证明

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

证明：分三种情况

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径

∴弧CmA=弧CA

∵弧CA为半圆,

∴弧CmA的度数为180°

∵AB为圆的切线

∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点

E，

连接EC、ED、EA。则

∵弧CD=弧CD

∴∠CED=∠CAD

∵AD是圆O的直径

∴∠DEA=90°

∵AB为圆的切线

∴∠BAD=90°

∴∠DEA=∠BAD

∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

(3)圆心O在∠BAC的外部

过A作直径AD交⊙O于D，连接CD