python scipy 稀疏矩阵详解

  coo_matrix是最简单的稀疏矩阵存储方式，采用三元组(row, col, data)(或称为ijv format)的形式来存储矩阵中非零元素的信息。在实际使用中，一般coo_matrix用来创建矩阵，因为coo_matrix无法对矩阵的元素进行增删改操作；创建成功之后可以转化成其他格式的稀疏矩阵（如csr_matrix、csc_matrix）进行转置、矩阵乘法等操作。

​ coo_matrix可以通过四种方式实例化，除了可以通过coo_matrix(D), D代表密集矩阵；coo_matrix(S), S代表其他类型稀疏矩阵或者coo_matrix((M, N), [dtype])构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d，还可以通过(row, col, data)三元组初始化：

​ 上面通过triplet format的形式构建了一个coo_matrix对象，我们可以看到坐标点(0,0)对应值为4，坐标点(1,1)对应值为7等等，这就是coo_matrix。coo_matrix对象有很多方法，大多数是elementwise的操作函数；coo_matrix对象有以下属性：

dtype dtype

矩阵中元素的数据类型

shape 2-tuple

获取矩阵的shape

ndim int

获取矩阵的维度，当然值是2咯

nnz

存储值的个数，包括显示声明的零元素(注意)

data

稀疏矩阵存储的值，是一个一维数组，即上面例子中的_data

row

与data同等长度的一维数组，表征data中每个元素的行号

col

与data同等长度的一维数组，表征data中每个元素的列号

​ 在实际应用中，coo_matrix矩阵文件通常存成以下形式，表示稀疏矩阵是coo_matrix(coordinate)，由13885行1列组成，共有949个元素值为非零，数据类型为整形。

​ 下面给出coo_matrix矩阵文件读写示例代码，mmread()用于读取稀疏矩阵，mmwrite()用于写入稀疏矩阵，mminfo()用于查看稀疏矩阵文件元信息。(这三个函数的操作不仅仅限于coo_matrix)

coo_matrix的优点：

coo_matrix的缺点：

​ csr_matrix，全称Compressed Sparse Row matrix，即按行压缩的稀疏矩阵存储方式，由三个一维数组indptr, indices, data组成。这种格式要求矩阵元按行顺序存储，每一行中的元素可以乱序存储。那么对于每一行就只需要用一个指针表示该行元素的起始位置即可。indptr存储每一行数据元素的起始位置，indices这是存储每行中数据的列号，与data中的元素一一对应。

​ csr_matrix可用于各种算术运算：它支持加法，减法，乘法，除法和矩阵幂等操作。其有五种实例化方法，其中前四种初始化方法类似coo_matrix，即通过密集矩阵构建、通过其他类型稀疏矩阵转化、构建一定shape的空矩阵、通过(row, col, data)构建矩阵。其第五种初始化方式这是直接体现csr_matrix的存储特征：csr_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])，意思是，矩阵中第i行非零元素的列号为indices[indptr[i]:indptr[i+1]]，相应的值为data[indptr[i]:indptr[i+1]]

举个例子：

​ csr_matrix同样有很多方法，其中tobytes()，tolist(), tofile()，tostring()值得注意，其他具体参考官方文档，csr_matrix对象属性前五个同coo_matrix，另外还有属性如下：

indices

与属性data一一对应，元素值代表在某一行的列号

indptr

csr_matrix各行的起始值，length(csr_object.indptr) == csr_object.shape[0] + 1

has_sorted_indices

判断每一行的indices是否是有序的，返回bool值

csr_matrix的优点：

csr_matrix的缺点：

​ csc_matrix和csr_matrix正好相反，即按列压缩的稀疏矩阵存储方式，同样由三个一维数组indptr, indices, data组成，如下图所示：

​ 其实例化方式、属性、方法、优缺点和csr_matrix基本一致，这里不再赘述，它们之间唯一的区别就是按行或按列压缩进行存储。而这一区别决定了csr_matrix擅长行操作；csc_matrix擅长列操作，进行运算时需要进行合理存储结构的选择。

​ lil_matrix，即List of Lists format，又称为Row-based linked list sparse matrix。它使用两个嵌套列表存储稀疏矩阵：data保存每行中的非零元素的值，rows保存每行非零元素所在的列号(列号是顺序排序的)。这种格式很适合逐个添加元素，并且能快速获取行相关的数据。其初始化方式同coo_matrix初始化的前三种方式：通过密集矩阵构建、通过其他矩阵转化以及构建一个一定shape的空矩阵。

​ lil_matrix可用于算术运算：支持加法，减法，乘法，除法和矩阵幂。其属性前五个同coo_matrix，另外还有rows属性，是一个嵌套List，表示矩阵每行中非零元素的列号。LIL matrix本身的设计是用来方便快捷构建稀疏矩阵实例，而算术运算、矩阵运算则转化成CSC、CSR格式再进行，构建大型的稀疏矩阵还是推荐使用COO格式。

LIL format优点

LIL format缺点

​ dok_matrix，即Dictionary Of Keys based sparse matrix，是一种类似于coo matrix但又基于字典的稀疏矩阵存储方式，key由非零元素的的坐标值tuple(row, column)组成，value则代表数据值。dok matrix非常适合于增量构建稀疏矩阵，并一旦构建，就可以快速地转换为coo_matrix。其属性和coo_matrix前四项同；其初始化方式同coo_matrix初始化的前三种：通过密集矩阵构建、通过其他矩阵转化以及构建一个一定shape的空矩阵。对于dok matrix，可用于算术运算：它支持加法，减法，乘法，除法和矩阵幂；允许对单个元素进行快速访问（ O(1) ）; 不允许重复。

​ 在上面代码最后可以看到，实际上dok_matrix实例也是dict实例，在实现上继承了dict类。

​ dia_matrix，全称Sparse matrix with DIAgonal storage，是一种对角线的存储方式。如下图中，将稀疏矩阵使用offsets和data两个矩阵来表示。offsets表示data中每一行数据在原始稀疏矩阵中的对角线位置k（k>0, 对角线往右上角移动；k>> data = np.arange(15).reshape(3, -1) + 1 >>> offsets = np.array([0, -3, 2]) >>> dia = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(7, 5)) >>> dia.toarray() array([[ 1, 0, 13, 0, 0], [ 0, 2, 0, 14, 0], [ 0, 0, 3, 0, 15], [ 6, 0, 0, 4, 0], [ 0, 7, 0, 0, 5], [ 0, 0, 8, 0, 0], [ 0, 0, 0, 9, 0]])

​ 不是很常用,了解即可

​ bsr_matrix，全称Block Sparse Row matrix，这种压缩方式极其类似CSR格式，但使用分块的思想对稀疏矩阵进行按行压缩。所以，BSR适用于具有dense子矩阵的稀疏矩阵。该种矩阵有五种初始化方式，分别如下：

bsr_matrix(D, [blocksize=(R,C)])

D是一个M*N的二维dense矩阵；blocksize需要满足条件：M % R = 0和N % C = 0，若不给定该参数，内部将会应用启发式的算法自动决定一个合适的blocksize.

bsr_matrix(S, [blocksize=(R,C)])

S是指其他类型的稀疏矩阵

bsr_matrix((M, N), [blocksize=(R,C), dtype])

构建一个shape为M*N的空矩阵

bsr_matrix((data, ij), [blocksize=(R,C), shape=(M, N)])

data 和ij 满足条件： a[ij[0, k], ij[1, k]] = data[k]

bsr_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])

data.shape一般是k*R*C，其中R、C分别代表block的行和列长，k代表有几个小block矩阵；第i行的块列索引存储在indices[indptr[i]:indptr[i+1]]，其值是data[ indptr[i]: indptr[i+1] ]。

bsr_matrix可用于算术运算：支持加法，减法，乘法，除法和矩阵幂。如下面的例子，对于许多稀疏算术运算，BSR比CSR和CSC更有效：

​ 可以通过热图观察矩阵有没有明显分块模式再决定使不使用该方式

bsr matrix对象拥有9个属性，前四个属性与coo matrix相同，另外还有以下属性(注意csr matrix和bsr matrix之间的区别与联系)：

data

即稀疏矩阵的数组，data.shape一般是k*R*C

indices

与属性data中的k个二维矩阵一一对应，元素值代表在某一行的列号

indptr

bsr各行起始起始值

blocksize

即tuple(R,C)

has_sorted_indices

判断每一行的indices是否是有序的，返回bool值

​ scipy.sparse模块还包含一些便捷函数，用于快速构建单位矩阵、对角矩阵等，下面做一个简单的汇总：

​ scipy.sparse.bmat举例：

稀疏矩阵类型判断

​ scipy.sparse模块还包含一些判断稀疏矩阵类型的函数，这里需要注意的是，issparse() 和 isspmatrix() 是相同的函数，也许是由于历史原因保留下来了两个。

稀疏矩阵存取

其他

要有效地构造矩阵，请使用dok_matrix或lil_matrix

lil_matrix类支持基本切片和花式索引，其语法与NumPy Array类似；lil_matrix形式是基于row的，因此能够很高效的转为csr，但是转为csc效率相对较低。

强烈建议不要直接使用NumPy函数运算稀疏矩阵

如果你想将NumPy函数应用于这些矩阵，首先要检查SciPy是否有自己的给定稀疏矩阵类的实现，或者首先将稀疏矩阵转换为NumPy数组（使用类的toarray()方法）。

要执行乘法或转置等操作，首先将矩阵转换为CSC或CSR格式，效率高

CSR格式特别适用于快速矩阵矢量产品

CSR，CSC和COO格式之间的所有转换都是线性复杂度。

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