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复数 (数的概念扩展) 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%8D%E6%95%B0/254365?fr=aladdin 我们把形如 z=a+bi(a、b均为实数)的数称为复数。其中,a 称为实部,b 称为虚部,i 称为虚数单位。当 z 的虚部 b=0 时,则 z 为实数;当 z 的虚部 b≠0 时,实部 a=0 时,常称 z 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 中文名 复数 外文名 complex number 提出者 Heron of Alexandria 提出时间 公元1世纪 适用领域 数学、编程 应用学科 数学、物理学、计算机科学 相关定理 欧拉公式、棣莫佛定理 所属集合 无序集 命名者 René Descartes 一般形式 z=a+bi(a、b均为实数) 目录1 历史 2 主要内容 ▪ 定义 ▪ 复数的模 3 共轭复数 ▪ 释义 ▪ 性质 4 复数的辐角 ▪ 概述 ▪ 释义 5 运算法则 6 数系的扩充——从自然数到复数 7 分类 8 应用 ▪ 系统分析 ▪ 信号分析 ▪ 反常积分 ▪ 量子力学 ▪ 相对论 ▪ 应用数学 ▪ 流体力学 ▪ 碎形 ▪ 实变初等函数 ▪ 复变指数函数 ▪ 复数的三角函数 历史编辑 播报 最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦,他考虑的是平顶金字塔不可能问题。 16世纪意大利米兰学者卡尔达诺(Jerome Cardan,1501 ~ 1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了一元三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成 数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646 ~ 1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717 ~ 1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是 a+bi 的形式(a、b都是实数)。法国数学家棣莫弗(1667 ~ 1754)在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔(1745 ~ 1818)在1797年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。 18世纪末,复数渐渐被大多数人接受,当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后,高斯再提出此观点并大力推广,复数的研究开始高速发展。诧异的是,早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。 卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。他又考虑球体,得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年,Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点,即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章,而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及,次年他发表了一篇备忘录,奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力,扫除了复数使用的最后顾忌,后者更是首位以复数研究著名的。 复数吸引了著名数学家的注意,包括库默尔(1844年)、克罗内克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、乔治·皮库克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念,例如素数,推广至复数。 德国数学家阿甘得(1777 ~ 1855)在1806年公布了复数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数 。像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组 代表复数 ,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。 经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。 随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。 主要内容编辑 播报 定义数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。 在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算“+”、“×”(记z1=(a, b),z2=(c, d)): z1 + z2=(a+c, b+d) z1 × z2=(ac-bd, bc+ad) 容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有 z=(a, b)=(a, 0) + (0, 1) × (b, 0) 令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a, 0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。 记 i=(0, 1),则根据我们定义的运算,(a, b)=(a, 0) + (0, 1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0, 1) × (0, 1)=(-1, 0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。 形如 我们将复数 当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。 复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,R是C的真子集。 复数集是无序集,不能建立大小顺序。 复数的模将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣. 即对于复数 编辑 播报 释义对于复数 根据定义,若 共轭复数有些有趣的性质: 编辑 播报 概述在复变函数中,自变量z可以写成 任意一个不为零的复数 |
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