matlab插值：拉格朗日插值

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matlab插值：拉格朗日插值

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拉格朗日插值即对所要插值的函数进行拉格朗日多项式拟合

这是matlab插值系列的第二期，第一期：[数值分析拟合]Matlab三次样条插值拟合数据

（以后会有时间的时候再更新更多的插值方法）

这篇文章我推导过程参考过了一些其他文章，代码是自己写的，如有不对或者公式打错了欢迎批评指正

首先，对于所需要插值的自变量x和所需插值的数据点y:

一、我们先来了解它的插值原理：

对于在一组数值散点中的任意一点进行插值，找到一个满足相应条件的n次多项式，我们希望能用所有点的函数值去表示它，并且每一点的函数值都与原来的函数值相符合。

因此，设原数据的每一个点的函数值为 $y_i$ ,为了组成插值所得到的 $y(x)$ ,前面配凑的系数是 $l_i$ ，那么则有：

记从0开始推导，则 $y(x) = l_0y_0+l_1y_1+l_2y_2+...+l_ny_n = \sum_{i=1}^n l_iy_i$

那么由两个点的插值开始，所得的应当是线性插值

则有 $\begin{Bmatrix} l_0(x_0)y_0 +l_1(x_0)y_1=y0\\ l_0(x_1)y_0+l_1(x_1)y_1=y1 \end{Bmatrix}$ 那么显然有 $\begin{Bmatrix} l_0(x_0)=l_1(x_1)=1\\ l_0(x_1)=l_1(x_0)=0 \end{Bmatrix}$

对于中间的每一个点，都应当有

$y(x) = y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0) =\frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0 +\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1$

整理得到

$y(x) =\frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0 +\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1$

那么从0开始，则其插值的系数为

$l_1 = \frac{x-x_1}{x_0-x_1},l_2 = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ , 有 $l_i(x_j) = \delta_{ij}=\begin{Bmatrix} 1 & i=j\\ 0&i\neq j \end{Bmatrix}$

这时，规律不够明显，因此我们采用更多的点来进行相关的推导

当点的个数为n+1时,为了保证 $l_i(x_j) = \delta_{ij}=\begin{Bmatrix} 1 & i=j\\ 0&i\neq j \end{Bmatrix}$ 依然成立

首先，为了保证下方条件，分子为

（图片来自参考文章

拉格朗日（Lagrange）插值多项式的基函数构造法(详细推导)）

此时，根据 $\delta_{ij} = 1$ ,可以有n+1个方程，那么由于有n+1个c(c0,c1,c2....cn)，则可通过解方程唯一确定对应的c0,解出c0后，即可确定

$l_0(x)= \prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ , $y(x) = \sum_{i=0}^{n}l_iy_i$

通过以上的公式推导，下面使用MATLAB来实现上述的计算内容

先加上我在里面调用的len.m

%返回一维数组长度(行数或列数其中大的一个，必须是一位数组) function [length]=len(A) s=size(A); if s(2)==1 length=s(1); %取行 end if s(1)==1 length=s(2); end if s(1)~=1 && s(2)~=1 disp('必须是单行向量或单列向量') return end end

编写函数 Lagrange.m计算拉格朗日插值:

其中许多的注释我用英语写的看着别嫌麻烦哈，这段时间为了学英语我也在天天头皮发麻）

% *** Lagrange interpolation *** function L = Lagrange(x,y,x_2) % x --origional x vector % y --origional y vector need to be interpolated % x_2 --the vector x that you want to interpolate to % author:FriedParrot --2022-2-4 if len(x) ~= len(y) error('The length of x and y should be correspond'); end xi = x_2; % generate the vector that need to be interpolated % define the initial vectors L = zeros(1,len(xi)); for i = 1:1:len(xi) % This is the index of the xi(to be interpolated) l = ones(1,len(x)); % it is used every time for k = 1:1:len(x) for j= 1:1:len(x) if j ~= k % similar to prod but the denominator shouldn't be zero l(k) = l(k) * ( xi(i)-x(j)) / (x(k)-x(j)); % the index should be k --the first index of the iteration end end % cacultte the l_j L(i) = L(i) + l(k)*y(k); % just for every single loop of s end end if nargout == 0 figure('name','Lagrange Interpolation'); plot(xi,L); end end

下面加上测试代码以及效果：

（代码使用外插值，即公式中的范围比数据的范围更广）

x = [1,2,4,6,8,9]; y = cos(x); x_2 = 0:0.05:10; Lagrange(x,y,x_2);

插值效果：

参考文章：

拉格朗日（Lagrange）插值多项式的基函数构造法(详细推导)

mathworld里关于Lagrange插值的简介（用翻墙软件可以进）

《专题一：插值法（1）拉格朗日插值法》

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