matlab中的向量除法

2023-09-25 03:14| 来源: 网络整理| 查看: 265

向量之间进行除法运算，使用不加点的矩阵除法“A/B”时，问题可以描述为：给定两个向量A、B，求一个常量x，使得A=x * B。举个例子： [2 4]/[1 2]=2。很显然，当两个向量中对应的每一组元素都有固定的比值时，答案很简单，就等于任一组对应元素之比。但若两个向量中对应的元素之比并不是都相等时，除出来的结果等于多少呢？例如： [2 5] / [1 2] = ? 不论哪个常数 x 都不能使得 [2 5] = x * [1 2] 成立。那此时的矩阵(向量)除法还有没意义呢？有意义！在很多时候，我们测得了两组向量数据，并且知道它们之间满足一个固定的倍数关系，具体的比值需要我们去求，但由于各种原因，数据存在测量误差，每一组数据的比值又都不一样，只能选一个比较合适的比值，使得其中一个向量乘上这个比值后与另一个向量尽量相等(两个向量中对应的元素尽量相等，全部相等是不可能的)。怎样才叫尽量相等呢？我们一般喜欢用误差的最小平方和来表示，以 [2 5] / [1 2] 为例，即求一个常量x，使得 (2 － x * 1)^2 ＋ (5 － x * 2)^2 最小。

于是，一个向量间的除法问题，转化为了一个求单变量2次函数的最小值问题，求极值很简单，对函数求导再令其等于0就OK了。更一般地，我们考虑求如下两个向量的除法问题： A=[A1 A2 ………… An ]， B=[B1 B2 ………… Bn ] 求x，使得f(x)＝(A1 － x * B1)^2 ＋ (A2 － x * B2)^2 …… ＋ (An － x * Bn)^2 最小。

解：对f求导得： f'(x)=2(A1－x * B1) * (-B1) ＋ 2(A2－x * B2) * (-B2) …… ＋ 2(An－x * Bn) * (-Bn) =－2A1 * B1 ＋ B1^2 * x － 2A2* B2 ＋ B2^2 * x …… －2An * Bn ＋ Bn^2 * x =－2(A1 * B1 ＋ A2 * B2 ……＋ An * Bn) ＋ 2(B1^2 ＋ B2^2 …… ＋ Bn^2)x

令f'(x)=0,对x求解可得到： x= (A1 * B1 ＋ A2 * B2 ……＋ An * Bn) / (B1^2 ＋ B2^2 …… ＋ Bn^2)

用matlab的语句表示出来，也就是x=sum(A.*B)/sum(B.^2)

例如，在matlab中运行：

A=[ 2 5 ]; B=[ 1 2 ]; A/B

ans= 2.4000

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