【 MATLAB 】使用 residuez 函数求 z 反变换的几个案例分析

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【 MATLAB 】使用 residuez 函数求 z 反变换的几个案例分析

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这篇博文属于我的专栏：数字信号处理的MATLAB实现里面的内容，专栏中给出了这一系列博文的集合，有兴趣的可以关注下。

上篇博文讲解了 residuez 函数的基础知识：

【 MATLAB 】residuez 函数介绍（Z变换部分分数扩展）

这篇博文就给出几个案例来练练手。

案例1：

为了校核留数计算，考虑下面的有理函数：

$X(z)=\frac{z}{3z^2-4z+1}$

使用residuez对其进行讨论。

题解：

先将这个有理函数重新整理为以z^-1升幂的函数：

$X(z)=\frac{z^{-1}}{3-4z^{-1}+z^{-2}}=\frac{0+z^{-1}}{3-4z^{-1}+z^{-2}}$

现在利用residuez函数来求它的留数部分、极点以及直接项：

clc;clear;close all; b = [0,1]; a = [3,-4,1]; [r,p,c] = residuez(b,a)

得到：

r =

0.5000 -0.5000

p =

1.0000 0.3333

c =

[]

这说明了：

$X(z)= \frac{0.5}{1-z^{-1}}- \frac{0.5}{1-\frac{1}{3}z^{-1}}$

同样，我们利用residuez函数返回它的有理多项式形式：

clc;clear;close all; b = [0,1]; a = [3,-4,1]; [r,p,c] = residuez(b,a); [b,a] = residuez(r,p,c)

b =

-0.0000 0.3333

a =

1.0000 -1.3333 0.3333

这样：

$X(z)= \frac{0+\frac{1}{3}z^{-1}}{1-\frac{4}{3}z^{-1}+\frac{1}{3}z^{-2}}$ $=\frac{z^{-1}}{3-4z^{-1}+z^{-2}}$ $= \frac{z}{3z^2-4z + 1}$

可见，和之前有理函数一致。

案例2：

求：

$X(z) = \frac{1}{(1-0.9z^{-1})^2(1+0.9z^{-1})},\left | z \right | 0.9$

的z反变换。

题解：

从分母多项式中可以看出分母多项式的根分别为：0.9,0.9，-0.9，因此可以使用poly函数求出分母多项式的系数，关于poly函数见博文：

【 MATLAB 】poly 函数介绍

延伸：

【 MATLAB 】roots 函数介绍（多项式根）

clc;clear;close all; b = 1; a = poly([0.9, 0.9, -0.9]) [r,p,c]=residuez(b,a)

a =

1.0000 -0.9000 -0.8100 0.7290

r =

0.2500 + 0.0000i 0.2500 + 0.0000i 0.5000 - 0.0000i

p =

-0.9000 + 0.0000i 0.9000 + 0.0000i 0.9000 - 0.0000i

c =

[]

这样：

$X(z) = \frac{0.25}{1-0.9z^{-1}}+\frac{0.5}{(1-0.9z^{-1})^2} + \frac{0.25}{1+0.9z^{-1}},\left | z \right | 0.9$

$=\frac{0.25}{1-0.9z^{-1}}+\frac{0.5}{0.9}z\frac{0.9z^{-1}}{(1-0.9z^{-1})^2} + \frac{0.25}{1+0.9z^{-1}},\left | z \right | 0.9$

由常用函数的z变换以及z变换的性质，可得z反变换：

$x(n) = 0.25(0.9)^nu(n)+\frac{5}{9}(n+1)(0.9)^{n+1}u(n+1)+ 0.25(-0.9)^nu(n)$

进一步化简：

$x(n)= 0.75(0.9)^nu(n)+ 0.5n(0.9)^nu(n)+0.25(-0.9)^nu(n)$

MATLAB验证环节：

我们的思路是将X（z）方程有理传递函数，那么x(n)就相当于单位脉冲响应，如果系统输入一个单位脉冲信号，那么输出还是x(n).

这样，我们就可以使用filter函数进行验证x（n）是否正确了。

脚本使用到了单位样值函数：

function [x,n]=impseq(n0,n1,n2); % generate x(n) = delta(n - n0); n1

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