2.8: 求解绝对值不等式

在本节结束时，您将能够：

在开始之前，请参加这个准备测验。

在我们准备求解绝对值方程时，我们会回顾我们对绝对值的定义。

数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。

数字 n 的绝对值写成所有数字\(|n|\)的\(|n|\geq 0\) and。

绝对值始终大于或等于零。

我们了解到，在数字线上，数字及其对数与零的距离是相同的。 由于它们与零的距离相同，因此它们的绝对值相同。 例如：

该图\(\PageIndex{1}\)说明了这个想法。

对于方程 |x|=5, |x|=5，我们正在寻找所有能使其成为真实陈述的数字。 我们正在寻找与零的距离为 5 的数字。 我们刚刚看到 5 和 −5−5 在数字行上都是从零开始的五个单位。 它们是方程的解。

\(\begin{array} {ll} {\text{If}} &{|x|=5} \\ {\text{then}} &{x=−5\text{ or }x=5} \\ \end{array}\)

通过写作，可以将解决方案简化为单个语句\(x=\pm 5\)。 读作 “x 等于正或负 5”。

我们可以将其概括为绝对值方程的以下属性。

对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

\[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=a} \\ {\text{then}} &{u=−a \text{ or }u=a} \\ \nonumber \end{array}\]

请记住，绝对值不能是负数。

解决：

\(\begin{array} {ll} {} &{|x|=8} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{x=−8 \text{ or } x=8} \\ {} &{x=\pm 8} \\ \end{array}\)

\(\begin{array} {ll} {} &{|y|=−6} \\ {} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\) 由于绝对值始终为正，因此该方程没有解。

\(\begin{array} {ll} {} &{|z|=0} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{z=−0\text{ or }z=0} \\ {\text{Since }−0=0,} &{z=0} \\ \end{array}\) 两个方程都告诉我们 z=0z=0 所以只有一个解。

解决：

\(\pm 2\)

没有解决办法

0

解决：

\(\pm 11\)

没有解决办法

0

为了求解绝对值方程，我们首先使用与求解线性方程相同的程序隔离绝对值表达式。 隔离绝对值表达式后，我们将其重写为两个等效方程。

解决\(|5x−4|−3=8\)。

解决：\(|3x−5|−1=6\)。

\(x=4, \space x=−\frac{2}{3}\)

解决：\(|4x−3|−5=2\)。

\(x=−1,\space x=\frac{5}{2}\)

这里总结了求解绝对值方程的步骤。

解决\(2|x−7|+5=9\).

解决：\(3|x−4|−4=8\)。

\(x=8,\space x=0\)

解决：\(2|x−5|+3=9\)。

\(x=8,\space x=2\)

记住，绝对值总是正数！

解决：\(|\frac{2}{3}x−4|+11=3\)。

\(\begin{array} {ll} {} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{Isolate the absolute value term.}} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{An absolute value cannot be negative.}} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)

解决：\(|\frac{3}{4}x−5|+9=4\)。

没有解决办法

解决：\(|\frac{5}{6}x+3|+8=6\)。

没有解决办法

我们的一些绝对值方程可能采用其\(|u|=|v|\)中 u 和 v 是代数表达式的形式。 例如，\(|x−3|=|2x+1|\)。

我们将如何解决这些问题？ 如果两个代数表达式的绝对值相等，则它们要么彼此相等，要么彼此为负数。 绝对值方程的属性表示，对于任何代数表达式 u 和正实数，a、if\(|u|=a\)、then\(u=−a\) 或\(u=a\)。

这告诉我们了

\ (\ begin {array} {lll} {\ text {if}} & {|u|=|v|} & {}\\ {\ text {then}} & {|u|=v} & {|u|=−v} \\ {\ text {and so}} & {u=v\ text {or} u = −v} & {\ text {or}} & {u=−v\ text {or} u = − (−v)} \\\ end {array}\)

这使我们得出具有两个绝对值的方程的以下属性。

对于任何代数表达式 u 和 v，

\[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=|v|} \\ {\text{then}} &{u=−v\text{ or }u=v} \\ \nonumber \end{array}\]

当我们取与数量相反的值时，我们必须谨慎对待符号，并在需要时添加圆括号。

解决：\(|5x−1|=|2x+3|\)。

\(\begin{array} {ll} {} &{} &{|5x−1|=|2x+3|} &{} \\ {} &{} &{} &{} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{5x−1=−(2x+3)} &{\text{or}} &{5x−1=2x+3} \\ {} &{5x−1=−2x−3} &{\text{or}} &{3x−1=3} \\ {\text{Solve each equation.}} &{7x−1=−3} &{} &{3x=4} \\ {} &{7x=−2} &{} &{x=43} \\ {} &{x=−27} &{\text{or}} &{x=43} \\ {\text{Check.}} &{} &{} &{} \\ {\text{We leave the check to you.}} &{} &{} &{} \\ \end{array}\)

解决：\(|7x−3|=|3x+7|\)。

\(x=−\frac{2}{5}, \space x=\frac{5}{2}\)

解决：\(|6x−5|=|3x+4|\)。

\(x=3, x=19\)

现在让我们来看看当我们存在绝对值不等式时会发生什么。 我们所学到的关于解决不平等的一切仍然有效，但我们必须考虑绝对价值如何影响我们的工作。 再说一遍，我们将看看我们对绝对值的定义。 数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。 对于方程\(|x|=5\)，我们看到数字线上\(−5\)的 5 和 5 都是 0 的五个单位。 它们是方程的解。

\[\begin{array} {lll} {} &{|x|=5} &{} \\ {x=−5} &{\text{or}} &{x=5} \\ \nonumber \end{array}\]

那不平等\(|x|\leq 5\)呢？ 距离小于或等于 5 的数字在哪里？ 我们知道\(−5\)和 5 都是从零开始的五个单位。 \(−5\)和 5 之间的所有数字从零开始小于五个单位（图\(\PageIndex{2}\)）。

用更一般的方式，我们可以看出 if\(|u|\leq a\)，那么\(−a\leq u\leq a\)（图\(\PageIndex{3}\)）。

此处总结了此结果。