有名不等式logx≦x

どこの大学か覚えていませんが，複数回見た記憶がある入試問題です。実は応用上も重要な意味を持つ問題です。

追記：読者の方に「1997年の京都府立医大で出題された」と教えていただきました。

正の実数 p1,p2,⋯ ,pn,q1,q2,⋯ ,qnp_1,p_2,\cdots,p_n,q_1,q_2,\cdots,q_np1​,p2​,⋯,pn​,q1​,q2​,⋯,qn​

が ∑k=1npk=∑k=1nqk=1\displaystyle\sum_{k=1}^np_k=\sum_{k=1}^nq_k=1k=1∑n​pk​=k=1∑n​qk​=1 を満たすときに以下の不等式を証明せよ：

∑k=1npklog⁡qk≤∑k=1npklog⁡pk\displaystyle\sum_{k=1}^np_k\log q_k\leq \sum_{k=1}^np_k\log p_kk=1∑n​pk​logqk​≤k=1∑n​pk​logpk​

対数を上からおさえる不等式を持っているので，小さい側に対数を寄せ集めます。

log⁡qk−log⁡pk=log⁡qkpk\log q_k-\log p_k=\log\dfrac{q_k}{p_k}logqk​−logpk​=logpk​qk​​ なので示すべき不等式は以下と同値：

∑k=1npklog⁡qkpk≤0\displaystyle\sum_{k=1}^np_k\log \dfrac{q_k}{p_k}\leq 0k=1∑n​pk​logpk​qk​​≤0

これを目指す。

ここで，log⁡x≤x−1\log x\leq x-1logx≤x−1 に x=qkpkx=\dfrac{q_k}{p_k}x=pk​qk​​

を代入すると，

log⁡qkpk≤qkpk−1\log \dfrac{q_k}{p_k}\leq \dfrac{q_k}{p_k}-1logpk​qk​​≤pk​qk​​−1 なので，両辺 pkp_kpk​ 倍して k=1k=1k=1 から nnn まで足し合わせると，

∑k=1npklog⁡qkpk≤∑k=1n(qk−pk)=∑k=1nqk−∑k=1npk=0\displaystyle\sum_{k=1}^np_k\log \dfrac{q_k}{p_k} \\\displaystyle\leq \sum_{k=1}^n(q_k-p_k)\\ =\displaystyle\sum_{k=1}^nq_k-\sum_{k=1}^np_k=0k=1∑n​pk​logpk​qk​​≤k=1∑n​(qk​−pk​)=k=1∑n​qk​−k=1∑n​pk​=0