为什么「除以一个数等于乘以它的倒数」（背后的道理是什么）？

这个证明过程我觉得不需要太复杂，可以简单的说清楚。

当然我们要用证明的方式。

1 首先我们要明白一个点，有理数都可以表示成分数的形式。

比如，10，表示成分数就是100/10，5表示成分数就是20/4。

都可以表示成分数的形式，也就意味着，我们可以设任意两个分数来证明这个定理。

其实这个定理也是基于分数除法的，因为分数除法较难，计算起来不方便，所以有了对于分数除法的探究。

于是，先有了除以一个分数等于乘以这个分数的倒数——这样的定理，然后扩展到了其他数。

2 假设和证明

现在我们假设有两个分数，n\m和k\l,其中m和l≠0.

现在n\m要除以k\l，我们假设商是C。

为了更清晰一点，我手写了一下，看图。

接下来，我们让C乘以k\l（其实是两边同时乘以k\l，约分后，得当）于是得到n\m=C×k\l

下面，我们为了理解得更好，画一下线段图，帮助大家直观得看一看。

取一条长度为C的线段，分成l份，每一份的长度是C\l,取其中的K份，长度正好等于n\m。

到这里与我们的设定是相符的。

那么，1\k×n\m，正好是第一段的长度，也是第一个点的刻度。

那么，我们已经知道，每一段的长度正好也是C\l。

于是有，1\k×n\m=C\l

两边同时乘以L，得到l\k×n\m=C

我们看到1\k×n\m=n\m÷k\l，除以一个数，等于乘以它的倒数，得以证明。

再看一下完整的证明，下面贴一张图。

好了，这个我们证明过了。要注意：

所有的有理数都可以表示成分数这一点，基于这一点，这个计算规则对自然数、负数也都是成立的。

在证明过程中，一些规则我们是默认的：比如说约分，分子分母同乘一个数结果不变。

其实这些都是有证明，连数为怎么进位也都是可以证明的，如果你想了解更多，建议你看一看《数学家讲解小学数学》这本书，里面对加减乘除，分数小数的运算规则有各种证明。

但是挺枯燥也挺烧脑的，其实很多简单的事情背后有大道理，这些大道理还挺难懂的，逻辑证明过程也有认知门槛。

不过，弄懂之后，会有成就感。