从幂函数出发，深究1/x的积分为什么是lnx (1)

提醒，请不要用lnx的导数是1/x来怼。

本篇灵感来源于对幂函数求导与积分的一次思考，我们熟知幂函数求导与积分的公式(以下讨论均默认幂函数的扩展指数定义到R上)

可以看到在这个公式的积分中α不能为-1

因为1/x的积分不再是幂函数

请不要觉得这很理所当然，

这里其实乍一看是非常突兀的事情，

我们的理想状态应该是，

幂函数求导始终是幂函数，幂函数积分也始终是幂函数。

并且每求一次导指数都会降一阶，每积分一次指数都升一阶。

这样统一的规律显然比出现特殊情况更让人满意。

而出问题的正是指数为0和-1的两种特殊幂函数

于是本篇就这两种情况进行深究。

我们先考虑1/x的积分

对于

若α=0，那么等式右端分母就会出现错误，

因此我们考虑α->0，不妨先忽略一致收敛等问题，左端的被积函数可以看作α的指数函数，那么由其连续性可得

而我们已知左端结果是lnx +C，为了简便我们直接考虑为lnx，于是上式右端的极限中，若我们取C=-1/α，就可以满足x=1时函数值为0

取右端极限式，做变换α=1/n，就可以得到了函数序列

按我们预期，他应该收敛到lnx，经过简单的极限过程，我们不难得到，他确实是收敛于lnx

如果学过一致收敛，很容易得到fₙ(x)内闭一致收敛于lnx(不一致收敛)，

这里我们反过来处理一下下式中左端的被积函数

重复如上过程我们很容易的到

也内闭一致收敛于1/x，这里留给读者自证。

至此，我们可以下结论了，在(0,+∞)的任意内闭区间内，有

绕了一大圈，我们得到了这个我们本来就知道的结果，但经过这个过程，我们得到了指数为-1时“不和谐”产生的一个解释，将1/x积分看作幂级数在指数趋于-1时的极限，这也就解释了为什么1/x积分后直接脱离了幂函数形式。

但尽管如此我还是不太满意这个解答，我认为可以找到一个体系，将lnx扩充为一种理想点，

例如，我们规定集合

这个集合显然与R²同构，

因此可以构建平面αOβ，每一个如上函数都是平面上的一个点

lnx则可以看作αβ=1条件下的极限情况。

第一篇在这个地方先结尾了，开个(可能不会填的)坑，也是受限于我的能力，待后续学习后再进一步深究。

本篇中我们提出来幂函数求导与积分中的一些“不和谐”，并使用函数序列进行了解释，如有错误，欢迎指出。

如果有朋友对这个问题也很感兴趣欢迎私信讨论。

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