高等数学公式及其结论（上）

sin ⁡ 3 α = 3 sin ⁡ α − 4 sin ⁡ 3 α cos ⁡ 3 α = 4 cos ⁡ 3 α − 3 cos ⁡ α \sin 3\alpha =3\sin\alpha -4\sin^{3}\alpha\\ \cos 3\alpha =4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα

sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) ] cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] sin ⁡ α sin ⁡ β = − 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) ] \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left( \alpha+\beta \right)+\sin\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left( \alpha+\beta \right)-\sin\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos\left( \alpha+\beta \right)+\cos\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left[\cos\left( \alpha+\beta \right)-\cos\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]cosαsinβ=21​[sin(α+β)−sin(α−β)]cosαcosβ=21​[cos(α+β)+cos(α−β)]sinαsinβ=−21​[cos(α+β)−cos(α−β)]

sin ⁡ α + s i n β = 2 s i n α + β 2 cos ⁡ α − β 2 sin ⁡ α − s i n β = 2 c o s α + β 2 sin ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + c o s β = 2 c o s α + β 2 cos ⁡ α − β 2 cos ⁡ α − c o s β = − 2 s i n α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \sin \alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin \alpha-sin\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos \alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos \alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​sinα−sinβ=2cos2α+β​sin2α−β​cosα+cosβ=2cos2α+β​cos2α−β​cosα−cosβ=−2sin2α+β​sin2α−β​

sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 − tan ⁡ 2 α 2 \sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\ \cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\ \tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\ sinα=1+tan22α​2tan2α​​cosα=1+tan22α​1−tan22α​​tanα=1−tan22α​2tan2α​​

记忆方法，勾股数 2 t 、 1 − t 2 、 1 + t 2 2t、1-t^2、1+t^2 2t、1−t2、1+t2

arctan ⁡ e x + arctan ⁡ e − x = π 2 arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = π 2 \large\arctan e^{x} +\arctan e^{-x}=\frac{\pi}{2}\\ \large\arctan x +\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} arctanex+arctane−x=2π​arctanx+arctanx1​=2π​

arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = π 2 \arcsin x +\arccos x=\frac{\pi}{2} arcsinx+arccosx=2π​

arctan ⁡ x + a r c c o t x = π 2 \arctan x +arccot x=\frac{\pi}{2} arctanx+arccotx=2π​

I = ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π 2 可 以 用 二 重 积 分 方 法 证 明 I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\quad 可以用二重积分方法证明 I=∫0+∞​e−x2dx=2π ​​可以用二重积分方法证明

sin ⁡ n π = 0 , cos ⁡ n π = ( − 1 ) n ∫ 0 + ∞ e − a x d x = 1 a ∫ 0 + ∞ sin ⁡ x x d x = π 2 ∫ a b ( x − a + b 2 ) d x = 0 中 值 定 理 可 能 用 到 ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 x n ( 1 − x ) m d x \large\sin n\pi=0,\cos n\pi=(-1)^n\\ \int_{0}^{+\infty}e^{-ax}dx=\frac{1}{a}\\ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\\ \int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})dx=0\quad 中值定理可能用到\\ \int_{0}^{1}x^m(1-x)^ndx=\int_{0}^{1}x^n(1-x)^mdx\\ sinnπ=0,cosnπ=(−1)n∫0+∞​e−axdx=a1​∫0+∞​xsinx​dx=2π​∫ab​(x−2a+b​)dx=0中值定理可能用到∫01​xm(1−x)ndx=∫01​xn(1−x)mdx

( x x ) ′ = x x ( 1 + ln ⁡ x ) sin ⁡ ( α + n π ) = ( − 1 ) n sin ⁡ n α Γ 函 数 Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x Γ ( α ) = 2 ∫ 0 + ∞ x 2 α − 1 e − x 2 d x Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) Γ ( 1 ) = 1 Γ ( 1 2 ) = π Γ ( n + 1 ) = n ! (x^x)'=x^x(1+\ln x)\\ \sin(\alpha+n\pi)=(-1)^n\sin n\alpha\\ \Gamma函数\\ \large\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}{x^{\alpha-1}e^{-x}dx}\\ \large\Gamma(\alpha)=2\int_0^{+\infty}{x^{2\alpha-1}e^{-x^2}dx}\\ \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\\ \Gamma(1)=1\\ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\\ \Gamma(n+1)=n!\\ (xx)′=xx(1+lnx)sin(α+nπ)=(−1)nsinnαΓ函数Γ(α)=∫0+∞​xα−1e−xdxΓ(α)=2∫0+∞​x2α−1e−x2dxΓ(α+1)=αΓ(α)Γ(1)=1Γ(21​)=π ​Γ(n+1)=n!

n + 1 ± n = 1 n + 1 ∓ n \sqrt{n+1}\pm\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}\mp\sqrt{n}} n+1 ​±n ​=n+1 ​∓n ​1​

arctan ⁡ x ± a r c t a n y = x ± y 1 ∓ x y \arctan x\pm arctany=\frac{x\pm y}{1\mp xy} arctanx±arctany=1∓xyx±y​

∣ x n − A ∣ < k n − 1 ∣ x 1 ∣ lim ⁡ n → ∞ k n − 1 ∣ x 1 ∣ = 0 ⇒ lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \left|x_n-A \right| − 1 且 同 号 放 缩 常 用 ( 1 + h ) n ≥ 1 + n h ( 1 + 1 n ) n < e 当 f ( x ) 单 调 递 增 ∑ i = 0 n − 1 f ( x i ) 1 n ≤ ∫ 0 1 f ( x ) d x ≤ ∑ i = 1 n f ( x i ) 1 n \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\leq n!\leq\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\\ x-1\leq \left\lfloor{x}\right\rfloor\leq{x}\leq \left\lceil{x}\right\rceil \leq{x+1}\\ \frac{2}{\pi}x{2 \pi n}}{\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}}}\mathop{{e}}\nolimits^{{\frac{{ \theta }}{{12n}}}},0 < \theta < 1}\\ {n! \approx \sqrt{{2 \pi n}}\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}},n\text{充}\text{分}\text{大}}\\ {\sqrt{{2 \pi n}}\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}} < n! < \sqrt{{2 \pi n}}\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}}{ \left( {1+\frac{{1}}{{12n-1}}} \right) }}