已知函数f（x）=x（lnx

（1）f（x）=xlnx-ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=[1/x]-2a=[1−2ax/x]，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=[1/2a]．令g′（x）＞0，解得0＜x＜[1/2a]，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞[1/2a]，此时函数g（x）单调递减．∴当x=[1/2a]时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（[1/2a]）=[1/ln2a]＞0，解得0＜a＜[1/2]．∴实数a的取值范围是（0，[1/2]）．（2）由（1）得0＜x1＜[1/2a]＜x2，f′（x1）=lnx1+1-2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1-2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1-ax1）=x1（2ax1-1-ax1）=x1（ax1-1）＜x1（-ax1）=-ax21＜0，f（x2）=x2（lnx2-ax2）=x2（ax2-1）＞1×（a×[1/2a]-1）=-[1/2]．

点评：本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．