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指数函数的性质
先来复习一下中学的课程: 对f(x) = ax求导: ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的): 函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。 如果y=2x,则 我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质: 1) (ex)’ = ex 2) ex在x=0的导数是1 当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2), 当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。 对数的性质自然对数是以e为底的对数,简写做ln y=lne和y=ex互为反函数: 对于函数y = lnx,其反函数是ey = x,根据反函数微分法: 已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。 在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质,elna = a,原函数需要使用对数进行一次变换: 根据链式求导法则, 所以,M(a) = ln(a) 指数函数的求导公式由于已经知道了M(a),所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。 对数函数求导公式:(ax)’ = axlna 示例: (10x)’ = 10xln10, (2x)’ = 2x ln2 对数微分法自然对数求导公式:(lnu)’ = u’/u,u是x的函数 根据该公式,(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例1:(lnx)’ = x’/x = 1/x 示例2:(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna 示例3:(xx)’ 这个稍微复杂点,不能直接用指数函数求导法则,因为指数也是x,此时需要使用对数做一次转换。 示例4:(xn)’ 根据幂函数求导公式,(xn)’ = nxn-1,现在使用对数转换对其求解: 也可以使用对数微分法求解: 示例5:(lnsecx)’ (lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx e的真相先来看一个极限: 这下麻烦了,似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简,化不可能为可能。暂且抛开lim,并使用对数转换(1+1/x)x : 由此得出结论: ![]()
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