[快乐数学]比大小问题二十法

这期咱们介绍比大小问题的二十种解法。

这个说起来很简单，就是把常见特殊值背了。

什么

ln2≈0.69

ln3≈1.09

lnπ≈1.14

根号e≈1.65

根号π≈1.77

ln5≈1.61

ln7≈1.95

总之，就是一个字:背。

这大概也是个无聊的方法吧。

遇到这种

直接给等式的题，可以尝试用图像解决。

这东西只要不画的太飘就不会有问题。

这个说起来很容易想起来。。。。应该也还行。

就是放大各个数直接的差距。

比较a=3的0.2次方，b=4的0.1次方，c=5的0.3次方

我们可以两边同时10次方扩大差距进而求解。

(这里还实现了化无理数为有理数的转变)

这个不用我多说吧。

这里的糖水不等式就是用作差法得到的。

作商法也不用说太多。

a=2/e，b=3/e

先判断待比较数的符号，符号相同才能用作商法，符号相反则负数更小。

这里a，b＞0。

a/b=2/3＜1

于是a＜b

这个我也不想多说，如果题目中给的是什么a＞b这样的条件，给a，b一个具体的数再比大小就行。

这个很简单，粗略估计数值就行。

比如比较a=1，b=以3为底2的对数，c=以0.5为底2的对数。

我们知道b在(0，1)之间

以c小于0

所以1＞b＞c。

这是非常经典的一种做法。通过观察待比较的数构造函数实现比大小。

比如比较a=根号3-3/e，b=根号2-2/e

这时构造f(x)=根号x-x/e，

则a=f(3)，b=f(2)

现在只需判断f(x)在[2，3]的单调性即可。

求导可知b＞a

但是这样构造或许比较麻烦，我们可以构造g(x)=x-x²/e

这样的话a=g(根号3)，b=g(根号2)

但g(x)是二次函数，单调性非常容易得到。

有些时候题目会出现一些类似于不同底也不同真的对数这样的很“奇怪”的比大小问题，这时可以考虑用中间量过渡。

如比较a=以2为底3的对数，b=以1.9为底4的对数。

我们知道以2为底3的对数＜以2为底4的对数＜以1.9为底4的对数

则a＜b。

这个方法说白了就是同构。

比如设e＜a＜b，比较a的b次方和b的a次方的大小。

两边同时取对数则blna不等号alnb

于是lna/a不等号lnb/b

这样就变成了同构形式再构造f(x)=lnx/x即可。

如果题目让你比较的只有对数那你就要注意这种方法了。

a=以0.2为底0.3的对数，b=以2为底3的对数，c=以4为底6的对数

你会发现真数比底数=3/2

通过观察真底关系我们构造函数f(x)=以x为底3/2x的对数

然后求导？？？？

这种导数你会求吗？

所以我们要换一下，把x拉出去。

f(x)=以x为底3/2的对数+1

这样就行了。(这个都不用求导了)

没错又是极值点偏移问题。

这题很容易发现要构造f(x)=lnx+x⁻¹

则a=f(ln3/2)，b=f(ln3)，c=f(ln2)

求导得f(x)在(0，1)减，(1，+∞)增。

利用单调性马上就能知道b＜c。

但a和b，c的大小就不能用单调性判断了。

这时我们要在(1，+∞)找到一个数x0使得f(x0)=f(ln3/2)

然后我们要比较x0与ln2和ln3的大小关系进而比较a与b，c。

这里出现了经典的条件f(x0)=f(ln3/2)，所以我们可以考虑用极值点偏移。

利用极限法马上就能得到x0+ln3/2＞2

则x0＞2-ln3/2=ln2e²/3＞ln2×(5/2)²/3＞ln25/6＞ln4

于是b＜c＜a。

这题常规解法如下

不晓得看到这种明显的同构你能不能想到作差和用不等式。

这个方法不是“正规军”而是做小题的偷懒方法。

所以我们有必要拿一道真正的数学题来。

这题的“正常解法”如下

但小题不能老是大做。

这题我们可以认为a，b，c较大，都落在xlnx的增区间上，于是a＞b＞c。

我们知道，x很大很多时指数增长大于幂函数增长大于对数函数增长。

对待比较的数，对数部分增长慢的可怜我们可以认为它们几乎一样。

所以他们的差距就体现在爆炸式增长的指数上。

e的x次方单调递增，而a+b＞a+c＞b+c

(这里我们认为a贼大，b和c较靠近但b比c大一点点)

于是选C

(再次声明，这不是正规方法！！！方法本身就不是很严密！！！)

这个说白了就是用切线放缩构造不等式。

我们以经典的e的x次方≥1+x来说明吧。

令x=0.5

得到根号e＞1.5

这种方法考试的时候基本不会考。如果考的话那这题难度一定非常大，做不出来也算是非常正常。

就是用均值不等式比大小。

这种方法在比较两对数或两指数大小时可能会用到。

比较，a=以3为底4的对数，b=以2为底3的对数

我们使用作商法

用均值不等式就能得到

均值不等式正是利用对数能把和变积指数能把积变和的性质。

说起来，你大概还不清楚糖水不等式的完整形式吧。

糖水不等式在比较两对数值时可能会用到。

可，分式在哪里呢？分式藏在换底公式中！

比较a=以2为底3的对数，b=以4为底6的对数。

(这两个对数的真数之比要等于底数之比才行。)

这个应该不用多说吧。

这是遇到连等式时常用的方法。

已知2的a次方=3的b次方=5的c次方

比较2a，3b，5c的大小

我们设它们等于k

则2a=2lnk/ln2

3b=3lnk/ln3

5c=5lnk/ln5

现在只需构造x/lnx即可。

这个不是特别重要。

比较a=sinπ/5，b=π/5

利用三角函数线可知a＜b。

这个是最不推荐用的方法。(计算量太大)

比较a=以2为底15的对数，b=根号15。

通过构造f(x)=以2为底x的对数-根号x。

判断单调性+零点(范围)得知f(15)的符号，进而比较大小。

(本质上就是作差法，但它“万能”)

抽象函数问题做起来应该还是比较轻松的。

因为这种题往往都是小题，抽象函数具体化屡试不爽。

含导数的抽象函数具体化的方法我们以后讲微分方程的时候再说。

不含导数的就很简单了，我就不多说了。