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这期咱们介绍比大小问题的二十种解法。 1.背值法这个说起来很简单,就是把常见特殊值背了。 什么 ln2≈0.69 ln3≈1.09 lnπ≈1.14 根号e≈1.65 根号π≈1.77 ln5≈1.61 ln7≈1.95 总之,就是一个字:背。 2.图像法这大概也是个无聊的方法吧。 遇到这种 直接给等式的题,可以尝试用图像解决。 这东西只要不画的太飘就不会有问题。 3.放大法这个说起来很容易想起来。。。。应该也还行。 就是放大各个数直接的差距。 比较a=3的0.2次方,b=4的0.1次方,c=5的0.3次方 我们可以两边同时10次方扩大差距进而求解。 (这里还实现了化无理数为有理数的转变) 4.作差法这个不用我多说吧。 这里的糖水不等式就是用作差法得到的。 5.作商法作商法也不用说太多。 a=2/e,b=3/e 先判断待比较数的符号,符号相同才能用作商法,符号相反则负数更小。 这里a,b>0。 a/b=2/3<1 于是a<b 6.特殊值法这个我也不想多说,如果题目中给的是什么a>b这样的条件,给a,b一个具体的数再比大小就行。 7.粗略估值法这个很简单,粗略估计数值就行。 比如比较a=1,b=以3为底2的对数,c=以0.5为底2的对数。 我们知道b在(0,1)之间 以c小于0 所以1>b>c。 8.构造函数法这是非常经典的一种做法。通过观察待比较的数构造函数实现比大小。 比如比较a=根号3-3/e,b=根号2-2/e 这时构造f(x)=根号x-x/e, 则a=f(3),b=f(2) 现在只需判断f(x)在[2,3]的单调性即可。 求导可知b>a 但是这样构造或许比较麻烦,我们可以构造g(x)=x-x²/e 这样的话a=g(根号3),b=g(根号2) 但g(x)是二次函数,单调性非常容易得到。 9.中间量过渡有些时候题目会出现一些类似于不同底也不同真的对数这样的很“奇怪”的比大小问题,这时可以考虑用中间量过渡。 如比较a=以2为底3的对数,b=以1.9为底4的对数。 我们知道以2为底3的对数<以2为底4的对数<以1.9为底4的对数 则a<b。 10.同形转化法这个方法说白了就是同构。 比如设e<a<b,比较a的b次方和b的a次方的大小。 两边同时取对数则blna不等号alnb 于是lna/a不等号lnb/b 这样就变成了同构形式再构造f(x)=lnx/x即可。 11.真底关系法如果题目让你比较的只有对数那你就要注意这种方法了。 a=以0.2为底0.3的对数,b=以2为底3的对数,c=以4为底6的对数 你会发现真数比底数=3/2 通过观察真底关系我们构造函数f(x)=以x为底3/2x的对数 然后求导???? 这种导数你会求吗? 所以我们要换一下,把x拉出去。 f(x)=以x为底3/2的对数+1 这样就行了。(这个都不用求导了) 12.极值点偏移没错又是极值点偏移问题。 这题很容易发现要构造f(x)=lnx+x⁻¹ 则a=f(ln3/2),b=f(ln3),c=f(ln2) 求导得f(x)在(0,1)减,(1,+∞)增。 利用单调性马上就能知道b<c。 但a和b,c的大小就不能用单调性判断了。 这时我们要在(1,+∞)找到一个数x0使得f(x0)=f(ln3/2) 然后我们要比较x0与ln2和ln3的大小关系进而比较a与b,c。 这里出现了经典的条件f(x0)=f(ln3/2),所以我们可以考虑用极值点偏移。 利用极限法马上就能得到x0+ln3/2>2 则x0>2-ln3/2=ln2e²/3>ln2×(5/2)²/3>ln25/6>ln4 于是b<c<a。 这题常规解法如下 不晓得看到这种明显的同构你能不能想到作差和用不等式。 13.函数增长法这个方法不是“正规军”而是做小题的偷懒方法。 所以我们有必要拿一道真正的数学题来。 这题的“正常解法”如下 但小题不能老是大做。 这题我们可以认为a,b,c较大,都落在xlnx的增区间上,于是a>b>c。 我们知道,x很大很多时指数增长大于幂函数增长大于对数函数增长。 对待比较的数,对数部分增长慢的可怜我们可以认为它们几乎一样。 所以他们的差距就体现在爆炸式增长的指数上。 e的x次方单调递增,而a+b>a+c>b+c (这里我们认为a贼大,b和c较靠近但b比c大一点点) 于是选C (再次声明,这不是正规方法!!!方法本身就不是很严密!!!) 14.切线放缩法这个说白了就是用切线放缩构造不等式。 我们以经典的e的x次方≥1+x来说明吧。 令x=0.5 得到根号e>1.5 这种方法考试的时候基本不会考。如果考的话那这题难度一定非常大,做不出来也算是非常正常。 15.均值不等式就是用均值不等式比大小。 这种方法在比较两对数或两指数大小时可能会用到。 比较,a=以3为底4的对数,b=以2为底3的对数 我们使用作商法 用均值不等式就能得到 均值不等式正是利用对数能把和变积指数能把积变和的性质。 16.糖水不等式说起来,你大概还不清楚糖水不等式的完整形式吧。 糖水不等式在比较两对数值时可能会用到。 可,分式在哪里呢?分式藏在换底公式中! 比较a=以2为底3的对数,b=以4为底6的对数。 (这两个对数的真数之比要等于底数之比才行。) 这个应该不用多说吧。 17.连等式设k法这是遇到连等式时常用的方法。 已知2的a次方=3的b次方=5的c次方 比较2a,3b,5c的大小 我们设它们等于k 则2a=2lnk/ln2 3b=3lnk/ln3 5c=5lnk/ln5 现在只需构造x/lnx即可。 18.利用几何意义这个不是特别重要。 比较a=sinπ/5,b=π/5 利用三角函数线可知a<b。 19.强行创造函数这个是最不推荐用的方法。(计算量太大) 比较a=以2为底15的对数,b=根号15。 通过构造f(x)=以2为底x的对数-根号x。 判断单调性+零点(范围)得知f(15)的符号,进而比较大小。 (本质上就是作差法,但它“万能”) 20.抽象函数比大小抽象函数问题做起来应该还是比较轻松的。 因为这种题往往都是小题,抽象函数具体化屡试不爽。 含导数的抽象函数具体化的方法我们以后讲微分方程的时候再说。 不含导数的就很简单了,我就不多说了。 |
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