Lingo 实现线性规划求解模型

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通过实现数学建模教材 P103 课后习题为例介绍如何使用 Lingo 软件设计线性规划求解模型。

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税、此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元； （2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券 A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券 C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

设证券 A、B、C、D、E 的购买数值分别为 x1 、x2、x3、x4、x5 万元，根据题目已知限制，建立如下约束条件： { x 2 + x 3 + x 4 ≥ 400 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 + 5 x 5 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 1.4 9 x 1 + 15 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 + 2 x 5 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 5 \left \{\begin{array}{ll}x_2+x_3+x_4\geq400&\\ &\\ \dfrac{2x_1+2x_2+x_3+x_4+5x_5}{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}\le1.4&\\ &\\ \dfrac{9x_1+15x_2+{4x}_3+3x_4+2x_5}{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}\le5 \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x2​+x3​+x4​≥400x1​+x2​+x3​+x4​+x5​2x1​+2x2​+x3​+x4​+5x5​​≤1.4x1​+x2​+x3​+x4​+x5​9x1​+15x2​+4x3​+3x4​+2x5​​≤5​​ 添加约束条件： x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1000 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1000 x1​+x2​+x3​+x4​+x5​=1000 此时收益表示为 ( 4.3 x 1 + 4.5 x 5 + ( 5.4 x 2 + 5.0 x 3 + 4.4 x 4 ) × 0.5 ) 100 \frac{(4.3x_1+4.5x_5+(5.4x_2+5.0x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100} 100(4.3x1​+4.5x5​+(5.4x2​+5.0x3​+4.4x4​)×0.5)​ 应用 Lingo 软件，输入约束如下图1，运行结果如下图2，根据运行结果可知，证券 A 投资218.18万元，证券 C 投资736.36万元，证券 E 投资45.45万元，证券 B 和 D 不投资，收益为29.84万元。

设借贷 y 万元，添加约束条件： x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1000 + y x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1000+y x1​+x2​+x3​+x4​+x5​=1000+y 此时收益表示为 ( 4.3 x 1 + 4.5 x 5 + ( 5.4 x 2 + 5.0 x 3 + 4.4 x 4 ) × 0.5 ) 100 − 0.0275 y \frac{(4.3x_1+4.5x_5+(5.4x_2+5.0x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100}-0.0275y 100(4.3x1​+4.5x5​+(5.4x2​+5.0x3​+4.4x4​)×0.5)​−0.0275y 约束如下图3，运行结果如下图4，易知，y=100时，即全部借贷时收益最大，为30.07万元，此时证券 A 投资240万元，证券 C 投资810万元，证券 E 投资50万元。

添加约束条件： x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1000 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1000 x1​+x2​+x3​+x4​+x5​=1000 A 的税前收益增加为4.5%时收益表示为 ( 4.5 x 1 + 4.5 x 5 + ( 5.4 x 2 + 5.0 x 3 + 4.4 x 4 ) × 0.5 ) 100 \frac{(4.5x_1+4.5x_5+(5.4x_2+5.0x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100} 100(4.5x1​+4.5x5​+(5.4x2​+5.0x3​+4.4x4​)×0.5)​ Lingo软件运行结果如下图5，易知，A 的税前收益增加为4.5%时投资不发生改变。

C 的税前收益减小为4.8%时收益表示为 ( 4.3 x 1 + 4.5 x 5 + ( 5.4 x 2 + 4.8 x 3 + 4.4 x 4 ) × 0.5 ) 100 \frac{(4.3x_1+4.5x_5+(5.4x_2+4.8x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100} 100(4.3x1​+4.5x5​+(5.4x2​+4.8x3​+4.4x4​)×0.5)​ Lingo软件运行结果如下图6，易知，C 的税前收益减小为4.8%时，证券 A 投资336万元，证券 D 投资648万元，证券 E 投资16万元，证券 B 和 C 不投资，收益为29.424万元。