图论之最短路径算法及Python实现

2023-03-27 23:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

最短路径问题

在图论中，最短路径问题是指在一个有向或无向的加权图中找到从一个起点到一个终点的最短路径。这个问题是计算机科学中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础，例如路线规划、通信网络设计和交通流量优化等。在这个问题中，每一条边都有一个权重，表示通过这条边需要的代价，例如距离、时间或费用等。最短路径问题的目标是找到一条从起点到终点的路径，使得这条路径上经过的边的权重之和最小。

数学模型

求解最短路径可以用线性规划或整数线性规划建模。以下是一个整数线性规划的数学模型：

令 x_{ij} 表示从节点 i 到节点 j 的路径是否被选择，若被选择则 x_{ij}=1，否则 x_{ij}=0。

则最短路径问题可以表示为：

\begin{aligned} & \operatorname{minimize} \quad \sum_{i, j} c_{i j} x_{i j} \\ & \text { subject to } \quad x_{i j} \in\{0,1\} \quad \forall i, j \\ & \sum_j x_{i j}-\sum_i x_{j i}=\left\{\begin{array}{ll} -1 & i=s \\ 1 & i=t \\ 0 & \text { otherwise } \end{array} \forall i\right. \\ & \end{aligned} \\

其中，c_{ij} 表示从节点 i 到节点 j 的边的权值，s 和 t 分别表示源节点和汇节点。

第一个约束条件表示 x_{ij} 只能取 0 或 1。第二个约束条件表示从任意节点 i 出发的边的数量必须等于从该节点进入的边的数量，除非该节点为源节点或汇节点。

这个模型的含义是，我们希望从源节点到汇节点选择一条路径，使得该路径的总权值最小。由于约束条件保证了路径的起点和终点，因此该模型可以确保求解的是从源节点到汇节点的最短路径。

算法

以下是图论中几种常见的最短路径算法：

Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算从起点到其它所有节点的最短路径。该算法的基本思想是从起点开始，依次计算每个节点到起点的最短路径，然后再依次计算每个节点到起点的最短路径，直到所有节点都被计算完毕。。 Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于找到带权重的有向图中从一个起点到所有其他节点的最短路径。该算法可以处理负边权图，并且还可以检测到负权环。 Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于找到带权重的有向图中任意两个节点之间的最短路径。该算法可以处理负边权图，并且可以同时计算多组最短路径。 案例(城市间机票价格问题)

问题如下：

已知 6个城市之间的机票票价如矩阵所示，求城市 A 到其它城市的票价最便宜的路径及票价。其中若值为0代表两地之间无直航，若值不为零，表示票价。 ABCDEFA0500402510B5001520025C015010200D40201001025E2502010055F1025025550

我们使用Python的NetworkX库对该问题进行求解。

import networkx as nx # 定义机票票价矩阵 costs = [[0, 50, 0, 40, 25, 10], [50, 0, 15, 20, 0, 25], [0, 15, 0, 10, 20, 0], [40, 20, 10, 0, 10, 25], [25, 0, 20, 10, 0, 55], [10, 25, 0, 25, 55, 0]] # 将矩阵转换成带权有向图 G = nx.DiGraph() for i in range(len(costs)): for j in range(len(costs[0])): if costs[i][j] != 0: G.add_edge(chr(65+i), chr(65+j), weight=costs[i][j]) # 计算城市A到其它城市的最短路径及票价 shortest_path = nx.shortest_path(G, source='A', weight='weight') shortest_path_cost = nx.shortest_path_length(G, source='A', weight='weight') for dest, cost in shortest_path_cost.items(): print(f"从A到{dest}的最便宜路径为{shortest_path[dest]}, 票价为{cost}元")

结果为

从A到A的最便宜路径为['A'], 票价为0元从A到F的最便宜路径为['A', 'F'], 票价为10元从A到E的最便宜路径为['A', 'E'], 票价为25元从A到B的最便宜路径为['A', 'F', 'B'], 票价为35元从A到D的最便宜路径为['A', 'F', 'D'], 票价为35元从A到C的最便宜路径为['A', 'E', 'C'], 票价为45元

这里核心代码是nx.shortest_path函数，在Python的NetworkX库中，nx.shortest_path()是用于计算有向或无向带权图中的最短路径的函数。其语法如下：

nx.shortest_path(G, source=None, target=None, weight=None, method='dijkstra')

该函数的参数解释如下：

G: 要计算最短路径的图，可以是有向图或无向图。source: 源节点，即起始节点，默认为None，表示计算图中所有节点的最短路径。target: 目标节点，即终止节点，默认为None，表示计算源节点到图中所有节点的最短路径。weight: 边的权重，默认为None，表示所有边的权重都为1。method: 最短路径计算的方法，默认为dijkstra，表示使用Dijkstra算法。还可以选择其他算法，例如Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。该函数返回一个字典，其中键为目标节点，值为从源节点到该目标节点的最短路径。如果指定了目标节点，则返回从源节点到目标节点的最短路径。如果源节点和目标节点不在同一连通分量中，则返回空路径。

nx.shortest_path()只计算节点之间的最短路径，而不是路径的最短距离。如果需要计算最短距离，可以使用nx.shortest_path_length()函数。

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