留数定理个人总结

求留数，通常来说有两个方法

其中 z_n 是函数的 m 阶极点。

说到极点，那么我们就不得不说到孤立奇点，孤立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。它们是通过对函数 f(z) 进行 Laurent 展开后负幂项的个数来定义的。可去奇点无负幂项，极点有限个负幂项，本性奇点无限个负幂项。

可去奇点的留数没必要求，因为它都可以不算个正经奇点（极限存在，可以去掉），或者说它的留数是0.

非孤立奇点的留数求不出来的，我们不用考虑。打个比方，在 某一点有无限个奇点，很难搞清楚这些奇点之间的关系，它们不是孤立的，几乎都重叠在同一个地方，你怎么洛朗展开？洛朗展开都展不了，更别说负幂项和留数了。

我们去找在奇点的洛朗展开的负一幂次项的系数，这个系数就是在该点的留数。

当你求导导不出来，或者遇上本性奇点时，就要用上这个方法。

第一种方法基本上没啥难点，关键在于极点的判断和阶数的判断，最后就是求多阶导。如果导不出来，我们就可以选择第二种方法，第二种方法的难点在于展开后去找，去凑那个负幂项，对数字处理要求比较高，但比较万能。

现在我们详细讲讲第一种方法的难点：极点的判断和阶数的判断。

1. 常见的就是有理的分式，比如 \frac{(z-a)^m}{(z-b)^n}\\ 显然 a 是分子的 n 阶零点， b 是分母的 n 阶零点。如果我们有一些统一思维的话，我们可以发现极点和零点就是一个倒数的关系。那么a 是分子的 n 阶零点， b 是分母的 n 阶零点，也可以说成a 是 \frac{1}{(z-a)^m} 的 n 阶极点， b 是 \frac{1}{(z-b)^n} 的 n 阶极点，这个不只是在有理分式有用哦。

有一些技巧就是如果你知道两个式子在同一极点的阶数，相除是阶数相减那么相乘就是阶数相加。

2. 如果是带那种三角的， e^z ,等等的，直接看不太出来的分式，就可以使用求导法判断阶数。对分母求 n 次导后， f^{(n)}(z_n)\ne0 ,那么 z_n 就是 1/f(z) 的 n 阶极点。当遇见不是分式的，而是像 e^{\frac{1}{z}},\sin {\frac{1}{z}} 就直接洛朗展开，我们可以发现洛朗展开是一个比较万能的方法，就是对于不熟练的人难度比较大，需要很会展开，熟练掌握展开结论，技巧等。如果展开有无穷负幂项，那就是本性奇点。

3. 还有一种是我最讨厌的，就是多值函数的极点。像是带那种 \sqrt z 的，或者 Ln z 。首先要知道多值函数的分枝点，这个判断我就不细讲了。再作一条割线，注意割线不要割到其它奇点了。然后规定单值分支。例如 \frac{1}{z\ln(1-z)}\\ 0,\infty 是它的分枝点，连接他们做一条割线，不要通过 z=0 这个奇点。那么 z\ln(1-z) 的零点 z=0 就是函数的孤立奇点。该多值函数有 \ln(1-z)|_{z=0}=2n\pi i,\quad n=0,\pm1,\pm2,\cdots\\ 对于 n=0 的分支， z=0 是二阶极点，对于 n\ne0 的分支， z=0 是一阶极点。

对于根式函数，它的多值性是因为相位的不还原，计算的时候把相位参数带上算就是了，也可以规定上岸下岸，变成单值函数来做。

第一种方法的第二个难点就是求导，普通求几阶导这里我们不多说，有一种是求 n 阶导，或者是 kn 阶导， k=const ,如果对求 n 阶导比较熟练的同学，直接求就是了，不熟练的同学，可以用洛朗展开，就像我们之前所说的，你导不出来，就展开（正幂项能展开，负幂项做不了）。这里说一个在这没啥用的一个二项式展开的公式，遇见 C_n^x ,其中 x 为负整数的情况，这时候我们就要拓展一下（为啥要写，是因为我之前以为用这个公式可解决负幂项做不了的问题，结果还是不行，懒得删了）

C_m^{n}=(-1)^mC^{m-n-1}_m\\ 用阶乘表示就是 C_m^{n}=(-1)^mC^{m-n-1}_m=(-1)^m\frac{(m-n-1)!}{m！(-n-1)!}\\

下面讲一阶极点情况下的常见问题。

在复变函数中我们可以用 \lim\limits_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z_0)}{g'(z_0)} 来求一阶极点的留数，但注意 f(z),g(z) 都是解析函数，且 g(z_0) 中 z_0 是一阶零点。对于函数 \frac{z}{\sin^2 z} 如果你用 resf(0)=\frac{z}{(\sin^2 z)'}|_{z=0}=\frac{1}{2} 来求就是错的，因为分母那个式子中 z=0 不是一阶零点，而是二阶的，正确做法是 resf(0)=\frac{1}{[({\sin^2 z})/z]'}|_{z=0}=1 .你实在怕错，就用 res\{f(z)\}=\lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) ，绝对没问题,但有的题不好做，极限洛必达洛不出来。

你会发现无穷远处这个奇点的性质决定了其余奇点的性质，反之亦然。通常求在 \infty 点的留数用这个就够了，但有时候你会发现，其余奇点的留数不好求，比如 \sqrt{(z-1)(z-2)} 在无穷远处的留数，我们很难做。这个时候就要用到倒代换的技巧，注意 res\{f(z)\,,\infty\}=-\frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t}) 在 t=0 的留数，也就是 t^{-1} 项的系数，而不是我们想当然的 f(\frac{1}{t}) 在t=0的 t^{-1} 项的系数,而是变成了 t^1 的系数了。

首先要注意被积函数的奇偶性，有时候还要利用三角恒等式，想办法将积分区域变成 (0，2\pi)or(-\pi,\pi)

然后就是一些代换 \cos x=\frac{z+z^{-1}}{2}，z=e^{i\theta},\sin \theta=\frac{z^2-1}{2iz},d\theta=\frac{dz}{iz}\\ 代换过后，往往求留数会涉及到复数的二元一次方程的求解或者是因式分解，做的时候要注意一下，留数在不在积分围道里面，要不要舍掉。

首先要注意被积函数的奇偶性，将积分区域变成 (-\infty，\infty)

构造围道，求留数，用大圆弧定理或者 Jordan 引理和补充引理，求出 C_R 路径上的积分值（通常都是0）

如果被积函数中出现了三角函数，就要转换为指数，

还有注意的是三角函数转成指数不要想当然的去求，还要根据三角恒等式来换。比如 \frac{\sin^3z}{z^3}\\ 不可以换成 \frac{e^{3iz}}{z^3}\\ 根据 \sin^3 x=\frac{1}{4}(3\sin z-\sin3x)\\ 换成 \frac{3e^{iz}-e^{i3z}-2}{z^3}\\

不要出现三角函数相乘，要相乘的式子想办法变成相加减的式子，这里常用和差化积，积化合差 \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\

把然后用 Jordan 引理和补充引理求出积分，也可以只用 Jordan 引理，然后比较实虚部来做。有些时候你用了 Jordan 引理，发现极限不是0，用不了怎么办？这时候我们就要考虑围道的选取。遇见很多奇点就绕开他们。

找枝点，画围道，规定上岸。

如果函数中有 lnx 这个因子，要设成 (lnz)^2 ，不然最后会被消掉。