信号与系统公式笔记（8）

这里是关于第5章的内容，拉普拉斯变换。。。其实基本上内容和傅里叶变换差不太多，基本上傅里叶变换学到的概念都可以在修改后用在拉普拉斯变换上。大部分截图来自齐开悦博士的课程录像的说。

傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况，拉普拉斯是傅里叶变换的推广，它们之间的最大不同就是拉普拉斯实在 s = σ + j ω s = \sigma + \mathrm{j}\omega s=σ+jω，积分域不同。

基本内容：

对不符合狄利克雷条件的函数无法做傅里叶变换，所以搞出来个拉普拉斯变换。 用 e S t \mathrm{e}^{St} eSt的例子： S = δ + j ω e S t = e δ t ⋅ e j ω t S = \delta + \mathrm{j}\omega\quad \mathrm{e}^{St} = \mathrm{e}^{\delta t}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} S=δ+jωeSt=eδt⋅ejωt

拉氏变换和Z变换时傅里叶变换的推广，傅里叶变换是它们的特例。

从傅里叶变换到拉氏变换

双边拉氏变换定义： 最下面那个公式里面的积分极限的下限的 0 − 0_- 0−​是为了表示包括冲激信号（单边拉氏变换才有用）。

例如原信号是 e 2 t \mathrm{e}^{2t} e2t，让 δ = − 3 \delta = -3 δ=−3，最后的积分对象就变成了 e − t \mathrm{e}^{-t} e−t，这样在总体上就是收敛的，就可以用到傅里叶变换。这样拉氏变换就可以比傅里叶变换用得更广泛。

补充：如果一个信号是因果信号，那么单边拉氏变换和双边是一样的。

记得 u ( t ) → π δ ( ω ) + 1 j ω u(t)\rightarrow \pi\delta(\omega) + \frac{1}{\mathrm{j}\omega} u(t)→πδ(ω)+jω1​，最后结果是 1 S \frac{1}{S} S1​，因为刚好 S > 0 S > 0 S>0，不包含 0 0 0，所以没有冲激函数那部分。

拉氏收敛域在解题的时候必须要写出来。

ROC及零极点图例子：

具体的零极点图在上面的例题里面最下面的图已经有了。

ROC性质 时限信号因为一定可以做傅里叶分析，所以ROC是整个S平面。 第4条性质的证明：

第6条其实就是4、5的结合，因为双边可以分成左边和右边。

如果两个域没有公共部分，那么拉氏变换不存在。

结合例题看比较容易理解地说：

上面要补充定义域：

补充： − e − a t u ( − t ) → 1 s + a R e ( s ) < − a -e^{-at}\mathrm{u}(-t) \rightarrow \frac{1}{s + a} \quad Re(s) < -a −e−atu(−t)→s+a1​Re(s)0），例二最好能够根据记住了的公式直接写出答案。

主要内容：

电路元件的s域模型：

例题：

1 1 − e − s T \frac{1}{1 - e^{-sT}} 1−e−sT1​是个无穷多项等比级数，所以写成这个形式。 具体的看教材，这里记住公式。 如果分母是 1 + e − s T 1 + e^{-sT} 1+e−sT，那么就要变成 F ( s ) = F 1 ( s ) 1 1 + e − s T = F 1 ( s ) 1 − e − s T 1 − e − 2 s T F(s) = F_1(s)\frac{1}{1 + e^{-sT}} = F_1(s)\frac{1 - e^{-sT}}{1 - e^{-2sT}} F(s)=F1​(s)1+e−sT1​=F1​(s)1−e−2sT1−e−sT​，周期变成2T了。

注意积分对象是t，和T无关。

定义：用 h ( t ) h(t) h(t)表示线性时不变离散系统的冲激响应，这时给一个输入 x ( t ) x(t) x(t)系统输出就是 y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) y(t)=x(t) * h(t) y(t)=x(t)∗h(t)，对应频域 Y ( s ) = X ( s ) H ( s ) Y(s) = X(s) H(s) Y(s)=X(s)H(s)。 H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} H(s)=X(s)Y(s)​定义为系统函数。 系统函数主要方便在直接用输入拉氏变换后的结果乘以系统函数，再拿乘之后的结果拉氏反变换就可以得到系统的输出。 还是很容易的概念，平时做一下题目就知道怎么用了。

第一种情况因为不包含虚轴（ j ω \mathrm{j}\omega jω）所以傅里叶变换不存在，后面的情况类似，主要和虚轴有关。拉氏变换就是傅里叶变换的推广，傅里叶变换是在虚轴上的拉氏变换。 上面的情况对右边信号才成立，左边信号的话要另外考虑（其实还是看定义域有没有包含虚轴）。 第三种情况的例子： u ( t ) u(t) u(t)在拉普拉斯变换里面对应 1 s \frac{1}{s} s1​，但是傅里叶变换里面对应 π σ ( ω ) + 1 j ω \pi \sigma(\omega) + \frac{1}{\mathrm{j}\omega} πσ(ω)+jω1​。