这里是关于第5章的内容,拉普拉斯变换。。。其实基本上内容和傅里叶变换差不太多,基本上傅里叶变换学到的概念都可以在修改后用在拉普拉斯变换上。大部分截图来自齐开悦博士的课程录像的说。
傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况,拉普拉斯是傅里叶变换的推广,它们之间的最大不同就是拉普拉斯实在
s
=
σ
+
j
ω
s = \sigma + \mathrm{j}\omega
s=σ+jω,积分域不同。
基本内容:
拉普拉斯变换定义,收敛域拉普拉斯变换的性质(和傅里叶变换类似)(重要,能简化计算)拉普拉斯反变换(主要是部分分式法)拉普拉斯变换与电路分析(一定要记住元件对应的拉氏变换模型)系统函数(挺重要的性质,求出了系统函数可以很方便地求输出)拉普拉斯变换与傅里叶变换关系(关键词:虚轴)
对不符合狄利克雷条件的函数无法做傅里叶变换,所以搞出来个拉普拉斯变换。 用
e
S
t
\mathrm{e}^{St}
eSt的例子:
S
=
δ
+
j
ω
e
S
t
=
e
δ
t
⋅
e
j
ω
t
S = \delta + \mathrm{j}\omega\quad \mathrm{e}^{St} = \mathrm{e}^{\delta t}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}
S=δ+jωeSt=eδt⋅ejωt
拉氏变换和Z变换时傅里叶变换的推广,傅里叶变换是它们的特例。
拉氏变换
拉氏变换定义与收敛域
从傅里叶变换到拉氏变换 ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508104627231?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
双边拉氏变换定义: 最下面那个公式里面的积分极限的下限的
0
−
0_-
0−是为了表示包括冲激信号(单边拉氏变换才有用)。
例如原信号是
e
2
t
\mathrm{e}^{2t}
e2t,让
δ
=
−
3
\delta = -3
δ=−3,最后的积分对象就变成了
e
−
t
\mathrm{e}^{-t}
e−t,这样在总体上就是收敛的,就可以用到傅里叶变换。这样拉氏变换就可以比傅里叶变换用得更广泛。
补充:如果一个信号是因果信号,那么单边拉氏变换和双边是一样的。
记得
u
(
t
)
→
π
δ
(
ω
)
+
1
j
ω
u(t)\rightarrow \pi\delta(\omega) + \frac{1}{\mathrm{j}\omega}
u(t)→πδ(ω)+jω1,最后结果是
1
S
\frac{1}{S}
S1,因为刚好
S
>
0
S > 0
S>0,不包含
0
0
0,所以没有冲激函数那部分。
![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508111016569?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
拉氏收敛域在解题的时候必须要写出来。 ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508111706983?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
ROC及零极点图例子: ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508113210178?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
具体的零极点图在上面的例题里面最下面的图已经有了。
ROC性质 时限信号因为一定可以做傅里叶分析,所以ROC是整个S平面。 第4条性质的证明: ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508155204132?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
第6条其实就是4、5的结合,因为双边可以分成左边和右边。
![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508163552132?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
如果两个域没有公共部分,那么拉氏变换不存在。
结合例题看比较容易理解地说: ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180508164134881?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
常用拉氏变换
上面要补充定义域:
R
e
(
s
)
>
0
Re(s) > 0
Re(s)>0
R
e
(
s
)
>
−
a
Re(s) > -a
Re(s)>−a
R
e
(
s
)
>
0
Re(s) > 0
Re(s)>0 后面两个可以不用写因为是整个复平面上成立的。 上面的东东要直接当公式用
补充:
−
e
−
a
t
u
(
−
t
)
→
1
s
+
a
R
e
(
s
)
<
−
a
-e^{-at}\mathrm{u}(-t) \rightarrow \frac{1}{s + a} \quad Re(s) < -a
−e−atu(−t)→s+a1Re(s)0),例二最好能够根据记住了的公式直接写出答案。
用拉氏变换分析电路、s域原件模型
主要内容:
用拉氏变换分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路
分析电路的步骤
列s域方程(从两方面入手) a. 列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换 b. 直接按电路的s域模型建立代数方程求解s域方程
F
(
s
)
→
f
(
t
)
F(s) \rightarrow f(t)
F(s)→f(t),得到时域解答
电路元件的s域模型: ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180609145033608?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180609144933688?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
例题: ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/2018060916050064?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dlZWtfb2ZfQ1NETg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
周期信号与抽样信号的拉氏变换
1
1
−
e
−
s
T
\frac{1}{1 - e^{-sT}}
1−e−sT1是个无穷多项等比级数,所以写成这个形式。 具体的看教材,这里记住公式。 如果分母是
1
+
e
−
s
T
1 + e^{-sT}
1+e−sT,那么就要变成
F
(
s
)
=
F
1
(
s
)
1
1
+
e
−
s
T
=
F
1
(
s
)
1
−
e
−
s
T
1
−
e
−
2
s
T
F(s) = F_1(s)\frac{1}{1 + e^{-sT}} = F_1(s)\frac{1 - e^{-sT}}{1 - e^{-2sT}}
F(s)=F1(s)1+e−sT1=F1(s)1−e−2sT1−e−sT,周期变成2T了。
注意积分对象是t,和T无关。
系统函数
定义:用
h
(
t
)
h(t)
h(t)表示线性时不变离散系统的冲激响应,这时给一个输入
x
(
t
)
x(t)
x(t)系统输出就是
y
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
y(t)=x(t) * h(t)
y(t)=x(t)∗h(t),对应频域
Y
(
s
)
=
X
(
s
)
H
(
s
)
Y(s) = X(s) H(s)
Y(s)=X(s)H(s)。
H
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}
H(s)=X(s)Y(s)定义为系统函数。 系统函数主要方便在直接用输入拉氏变换后的结果乘以系统函数,再拿乘之后的结果拉氏反变换就可以得到系统的输出。 还是很容易的概念,平时做一下题目就知道怎么用了。
拉氏变换和傅里叶变换的联系
第一种情况因为不包含虚轴(
j
ω
\mathrm{j}\omega
jω)所以傅里叶变换不存在,后面的情况类似,主要和虚轴有关。拉氏变换就是傅里叶变换的推广,傅里叶变换是在虚轴上的拉氏变换。 上面的情况对右边信号才成立,左边信号的话要另外考虑(其实还是看定义域有没有包含虚轴)。 第三种情况的例子:
u
(
t
)
u(t)
u(t)在拉普拉斯变换里面对应
1
s
\frac{1}{s}
s1,但是傅里叶变换里面对应
π
σ
(
ω
)
+
1
j
ω
\pi \sigma(\omega) + \frac{1}{\mathrm{j}\omega}
πσ(ω)+jω1。
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