二、复数的矩阵表达

1.矩阵

我们在这个只考虑2*2方阵，即2行2列

2.矩阵的运算

1）加法：

2）数乘：

3）乘法：

矩阵的重要之处在于它将许多的代数问题给方便的表示，特别是利用矩阵的乘法将使代数问题得到简洁的表示和求解。不过我觉得在坐的各位应该都学过高等代数或者线性代数，就不多引申了。（即使没学过也没有关系，因为接下来要做的也跟引申内容无关，各位只要记住矩阵的乘法就行，我目前还是秉持着拿着最少的东西来描述事物的看法，轻装上阵，毕竟不是在做题）

3.复数

我们在实际演算中发现，让根号下-1，有意义是必须的。故将根-1记为i，那么显然i^2=-1。那么我们将ki称为虚数，k为实数。形如：a+bi称为复数，其中a，b属于实数。

4.复数的矩阵表达

什么是1，我们一般认为在2*2的矩阵中任一矩阵乘以一个矩阵不变。

显然它就是：

这样我们建立一个整数与二乘二矩阵的联系

我们需要一个矩阵，设为M，它需要满足方程M^2=-1，故：

解出该方程：

当然把M中的-1与1做个对换也没有问题，但由于M^3=-M，所以按照习惯，我们将其写为这样。

这样我们把M称为虚数。

换而言之，虚数可以看作，aM。这样复数可表示为aE+bM。我们也可以建立一个对应，aE+bM—a+bi。

拓展一下，结合转轴公式，M可写作

这也就是为什么，复数被称为把坐标轴旋转了90度，而不是其他度数的原因。

初看起来莫名其妙，2*2矩阵的加入固然解决了x^2=-1，但关键在于这样的引用真的有必要？或者说难道就没有比矩阵更好的方法？

其实这样的引用是很有必要的。比如：

解决了整数的开方问题

它将x^2=？（这里是整数）的问题解决了。因为解方程时是在解决一个四元二次方程组，由于结果的对称性，方程组的个数只有两个。

至于四元数，也有

我们不难发现，出现复数，根号下，完全是一个计算的需求。脱离了发明一个新工具的话，对于x^2=-1，我们完全可以称i为它的解，只要定义的i不影响原有的性质都行。

故，这些东西都体现了，从自然数到实数的扩充远比从自然数到有理数，代数数，复数，四元数复杂而不同。

题外话，前些日子的高代危机了，差点没有过。而且一路学下来，真的感到以前对数学的理解，真的幼稚，回头看我写的东西，惨不忍睹。课程也慢慢紧张起来了，先道个歉，先前说要给你们介绍哥德尔第二定理和非标准分析，我看有些遥遥无期了。至于哥德尔第一定理，这个寒假应该会补完，应该吧！对，要乐观。以后要写的东西会偏向数学一些，毕竟是学这行的。