迭代法求解线性方程组的研究(精选.)

word. 

迭代法求解线性方程组的研究

【摘要】

:

本文总结了解线性方程组的三个迭代法，

Jacobi

迭代法，

Gauss-seidel

迭代法，

SOR

迭代法，

并且介绍了现代数值计算软件

MATLAB

在这方面的应用，

即分别给出三个迭代

法的数值实验。

【关键字】

:

Jacobi

迭代法

Gauss-seidel

迭代法

SOR

迭代法

数值实验

一．

引言

迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，

它是解高阶稀疏方程组的重

要方法。

迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。

设有方程组

b

Ax



…①

将其转化为等价的，便于迭代的形式

f

Bx

x





…②

(

这种转化总能实现，如令

b

f

A

I

B







,

), 

并由此构造迭代公式

f

Bx

x

k

k







)

(

)

1

(

…③

式中

B

称为迭代矩阵，

f

称为迭代向量。对任意的初始向量

)

0

(

x

，由式③可求得向量序列



0

)

(

}

{

k

x

，若

*

)

(

lim

x

x

k

k







，则

*

x

就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称

为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵

B

的性质。

本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：

Jacobi

迭代法，

Gauss-Seidel

迭代法和

SOR

迭代法。

本文结构如下：

第二部分介绍

Jacobi

迭代法及其数值实验，

第三部分介绍

Gauss-Seidel

迭代法及其数值实验，第四部分介绍

SOR

迭代法及其数值实验，第五部分总结。

二．

雅克比（

Jacobi

）迭代法

1.

雅克比迭代法的格式

设有方程组

)

,

,

3

,

2

,

1

(

1

n

i

b

x

a

j

j

n

j

ij











…①

矩阵形式为

b

Ax



,

设系数矩阵

A

为非奇异矩阵，且

)

,

,

3

,

2

,

1

(

,

0

n

i

a

ii





