一元函数微分学中导数

目录

高阶导数与导数判断单调性

高阶数导

导数判断单调性 

常用方法

函数的极值

极值定义

找到极值的方法 

 极值定理

注意

 二阶导数判断凹凸性_泰勒展开式

函数的凹凸性

 泰勒公式

高阶数导数是指对一个函数进行多次求导的过程。在微积分中，我们可以对一个函数进行一次、两次或更多次的求导操作，得到对应的一阶导数、二阶导数、三阶导数等等。

设函数f(x)具有各阶导数，那么函数f(x)的n阶导数（n ≥ 1）可以通过对f(x)的一阶导数再次求导得到。一阶导数常用记号为f'(x)，二阶导数记为f''(x)，三阶导数记为f'''(x)，依此类推。

以一阶导数为例，设函数f(x)在某个区间上可导，那么f(x)的一阶导数f'(x)可以通过求极限的方式得到：

f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

其中，h表示一个趋近于0的实数。

类似地，二阶导数f''(x)可以通过对一阶导数f'(x)再次求导得到，即：

f''(x) = (f'(x))'

这个过程可以一直进行下去，得到函数的任意阶导数。

示例：

通过判断函数的导数在某个区间是否大于0，就可以判断原函数的单调性

首先，找到函数的一阶导数。一阶导数描述了函数在不同点上的斜率。可以使用求导规则来计算导数。

根据一阶导数的符号来判断函数的单调性。在一个区间上，如果一阶导数恒大于零（正导数），则函数在该区间上是递增的；如果一阶导数恒小于零（负导数），则函数在该区间上是递减的。

对于函数在给定区间上的临界点（导数为零或未定义的点），需要额外的分析。在临界点上，函数可能存在极大值、极小值或拐点。可以通过求解一阶导数为零的方程来找到这些点，并通过二阶导数或其他方法来进一步判断。

如果一阶导数在某个点上不变号（从正变为负或从负变为正），则函数在该点处可能存在极值或拐点。可以使用二阶导数或其他方法进行验证。

如果函数的一阶导数在整个区间上恒大于零或恒小于零，那么函数在该区间上是严格递增或严格递减的。

极大值：在函数的某一点或某些点上取得的最大函数值称为极大值。如果在某个点上的函数值比其邻近的点都大（或相等），那么该点就是函数的极大值点。极大值点可能是局部最大值（在某一小区间上最大）或全局最大值（在整个定义域上最大）。

极小值：在函数的某一点或某些点上取得的最小函数值称为极小值。如果在某个点上的函数值比其邻近的点都小（或相等），那么该点就是函数的极小值点。极小值点可能是局部最小值（在某一小区间上最小）或全局最小值（在整个定义域上最小）。

极值点通常是函数曲线上的局部特征，表示函数在某个点上取得了极端的值。极值点可以帮助我们分析函数的行为，包括确定函数的单调性、拐点和特殊形状等。

要找到函数的极值点，通常需要计算函数的导数，并分析导数的零点和变号情况。对于连续可导的函数，极值点通常出现在导数为零的点或导数不存在的点。然后，通过二阶导数或其他方法判断这些临界点是否为极值点。进一步的分析可能涉及到高阶导数、图像分析和区间测试等技巧。

注意

函数的极值是一个局部概念，它只是在极值点附近的所有点的函数值相比较而言的！

找到函数的一阶导数。使用求导规则计算函数的一阶导数。

解一阶导数为零的方程。将一阶导数等于零的方程进行求解，找到所有满足这个条件的临界点（也称为驻点）。

找到函数的二阶导数。计算函数的二阶导数。

对临界点进行分类：

对于无法确定的临界点，可以使用其他方法进行判断：

设函数f(x)在点x₀处具有导数，且x₀是极值点，则函数在点x₀处的导数必为零，即f'(x₀)=0.

导数等于0处不一定是极值！

上图中，y=x^3^在x=0处的导数等于0，但x=0处对应的值并不是极值。

事实上，y=x^3^是一个单调递增函数，因此没有极值。

为了研究函数曲线的弯曲方向，引入了“凹凸性”的概念

若函数f(x)在(a,b)内有f''(x)>0,则函数曲线在[a,b]上是凹的；

若函数f(x)在(a,b)内有f''(x)