梯度（gradient）到底是个什么东西？物理意义和数学意义分别是什么？

首先搞清楚梯度理论要解决的问题。如图1所示，某个人站在山坡的某点O，他如何才能最快到达山顶P点？图中，他既可以沿着s曲线的方向，也可以按照t曲线的方向。这里的s代表的是山坡的一条曲线。直觉告诉我们，肯定是s方向更快。

那么，如何用数学的方法来描述这个事情呢？很简单，将图1中的OP用直线连起来，然后向地平面xoy作一个垂直平面，这个平面就是投影平面，如图2中的红色平面所示。这个投影平面就会在山坡上截出一根空间曲线，同时在xoy平面产生一条直线。

将图2中的想法，过图1中的O点，沿着曲线 t 的一小段，建立投影的坐标系，如图3。

有了图3之后，我们就可以看懂方向导数的定义和定理。所谓的方向导数，就是图1中山坡上的曲线 t (或者s,或者其它任意一条曲线) 上任意两点op的高度变化pq，与它由投影平面在地平面产生的交线相对应的两点oq的距离变化的比值。

这是图3中xoy平面上oq两点的坐标变化图。

因为从山坡上任一点出发都有无数个方向，因此曲面上任意一点都又无数个方向导数。

如下图所示：

有了方向导数之后，再看梯度定义：

这个定义告诉我们，一定存在一个梯度方向，但并没有告诉我们，梯度究竟是什么方向。

上图表明，方向导数是梯度模值的一个分量，同时，由于方向导数求的是空间曲线的高度变化率，所以梯度就是高度变化率最大的方向。并且：

为了解释上述问题，将图1中的 s 和 t 曲线的投影同时画在下图。

上图的og就是梯度方向，f 代表图1中的曲线 s。为了表明图1中的曲线 t 的方向导数是梯度方向og的一个分量，特意构建了另一个坐标系koL。图中的ok,oy,og,oL,ox都是在地平面U上面，而空间曲线 f 则在投影平面V上面。

为什么求方向导数和梯度都要通过投影平面来解决呢？这个问题非常简单，图3和图5中的空间曲线高度变化量pq是不是都要向下作垂线？方向导数既然是导数，是不是通过直角三角形来求斜率？

图中的

就是方向导数取得最大值的导数，og方向就是梯度方向，它的值就是梯度

的模：

那么，为什么这样认为呢？由于图4的梯度定义只是说明存在一个梯度方向，但并没有告诉我们梯度具体是那个方向，这需要从等高线来理解：

我们看到，规则的几何图形，如圆锥、半圆等，其等高线是一个个的同心圆。这种情况下，梯度的方向就是同一个方向，也就是图2中的投影平面与地平面xoy的那条交线方向。这是因为某点梯度的方向与该点的法线方向一致。原因如下：

这里借用一位知乎网友的回答:

再看隐函数导数定理：

这个隐函数就是F(x,y)=f(x,y)-c=0。

上面就证明了曲线上某点的梯度方向就是该点的法线方向。

结合图a，既肯定了梯度方向的存在，又具体给出了曲线上每一点的梯度方向也就是法线方向，这就完美地解决了梯度问题。

假设图1中的小山是一个规则的半球，那么它的等高线就是图7中一个个规则的同心圆，也因此从图1中的O点走向山顶P的曲线 s 的梯度方向都是相同的，因为任意一个圆的法线方向都指向圆心。

那么，如果是不规则立体呢？

假设这个不规则立体的等高线如下图：

那么我们看到，从图8的山脚爬到山顶，结合图9，还是按照图2的方法，但要用多个不同方向的投影平面在图8中截取多条空间曲线然后连接起来，因为这条空间曲线在不同点的梯度方向是会改变的，这可以从图6中梯度的表达式可以看出来：

这个表达式中，x,y改变是会导致梯度方向发生变化的。图7中之所以方向保持一致，是因为x,y坐标的改变存在着某种比例关系。图7的等高线可以用一个统一的方程f(x,y)=c来表示，而图9的等高线则不能。

其导数为：

由此可见，只要坐标x,y成比例变化，其导数就不变。

上图表示，对于规则的立体，要从山脚的某点爬到山顶，只要按照图2的方法，用投影平面在三维曲面上截取一条空间曲线，那么这条曲线上的每一点的方向导数与其它曲线相比，都能取得最大值，而且其在地平面上的投影直线，指向圆心的方向就是梯度方向。对于图8中的不规则立体，就不能像图1一样，直接用一个包含直线op的投影平面来截取坡面上的空间曲线作为前进轨迹，而是要用不同方向的平面来截取，因为图9 中的梯度方向是随时变化的，比如在A点碰到了一个平地，这是就要改变方向了，因为必须保证那条轨迹上的每个点都是高度增加率最大的方向。

在图1中，从出发点沿着梯度方向s向山坡上走一步，就相当于在图7中，从一条等高线跨越到了另一条等高线。

综合一下：1：方向导数是导数，因此它是一个函数，或者是一个数字（某个点），而梯度始终是一个向量，它代表的是方向导数取得最大值的那个方向。2：不管方向导数还是梯度，都要通过投影平面解决问题。3：规则立体比如圆锥、半球等的梯度方向可能是一致的，但不规则立体的梯度方向则是变化的。