时间序列进阶（ARCH&GARCH)

之前我们讨论过ARIMA模型，这个模型是对时间序列数据的拟合与预测，此外时间序列模型对波动性的应用也较为广泛（如:股票波动）。这些模型一般都假设干扰项的方差为常数，然而很多情况下时间序列的波动有集聚性等特征，使得方差并不为常数。因此，如何刻画方差是十分有必要研究的。

波动率无法直接观测，但是可以从资产收益率中观测到一些特征：

存在波动率聚集现象，也就是说，波动率在一段时间内都比较高，在另一段时间内都比较低。 波动率是随着时间连续变化的。(一般来说波动率与时间的曲线f(x)是连续的) 波动率不会发散到无穷。 波动率对价格大幅上升和大幅下降的反应不同。这种现象称为杠杆效应。

ARCH模型全称“自回归条件异方差模型”，在现代高频金融时间序列中，数据经常出现波动性聚集的特点，但从长期来看数据是平稳的，即长期方差(无条件方差)是定值，但从短期来看方差是不稳定的，我们称这种异方差为条件异方差。传统的时间序列模型如ARMA模型识别不出来这一特征。

ARCH模型本质上是为时间序列的波动率而建模的，是对时间序列增加一个动态方程，来刻画资产收益率的条件异方差随时间的演变规律；基本假设是扰动项是不存在序列（历史数据）相关性，但是不独立的，扰动项可以用其平方项来描述

ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方差模型。

1、资产收益率序列的扰动 {at} 是序列不相关的，但是不独立。

2、{at}的不独立性可以用其延迟值的简单二次函数来描述。

1.41 通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，如有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型（如ARMA）来消除任何线形依赖

1.42 对均值方程的残差进行ARCH效应检验

1.43 如果具有ARCH效应，则建立波动率模型

1.44 检验拟合的模型，如有必要则进行改进

虽然ARCH模型简单，但为了充分刻画收益率的波动率过程，往往需要很多参数，例如上面用到ARCH(4)模型，有时会有更高的ARCH(m)模型。广义的ARCH模型（GARCH）为ARCH的推广。

ARCH模型的实质是使用残差平方序列的q阶移动平移拟合当期异方差函数值，由于移动平均模型具有自相关系数q阶截尾性，所以ARCH模型实际上只适用于异方差函数短期自相关系数。

但是在实践中，有些残差序列的异方差函数是具有长期自关性，这时使用ARCH模型拟合异方差函数，将会产生很高的移动平均阶数，增加参数估计的难度并最终影响ARCH模型的拟合精度。

为了修正个问题，提出了广义自回归条件异方差模型， 这个模型简记为GARCH（p,q），公式为：

GARCH模型能模拟时间序列变量的波动性的变化，解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设（方差恒定）所引起的问题。

2.21 对时间序列变量进行平稳性检验

2.22 若时间序列是平稳序列，则可继续进行 ARCH 效应检验。

2.23 若时间序列存在 ARCH 效应，则可建立 GARCH 模型，对 GARCH 模型各参数进行估计。

2.24 对 GARCH 模型的标准化残差序列进行纯随机性检验，若满足纯随机性，说明 GARCH 模型是有效的。

2.25 作出波动率图，直观展现GARCH模型拟合原序列波动特征的情况。

条件波动率模型的建立：扰动项分布的选择、ARCH项、GARCH项最优阶数，是否存在非对称效应(即杠杠效应)，非对称项的最优阶数，最后对最优模型建模，并检验最优模型是否仍存在ARCH效应，残差的系列检验等。

与之前的ARCH模型建立过程类似，不过GARCH(m,s)的定阶较难，一般使用低阶模型如GARCH(1,1)，GARCH(2,1)，GARCH(1,2)等。

对某股票的收益率使用GARCH模型对其波动状况进行研究

【GARCH模型】要求特征序列为１个时间序列定量变量。

该序列检验的结果显示，基于变量收益率，显著性p值为0.000***，水平上呈现显著性，拒绝原假设，该序列为平稳的时间序列。

上表展示了 ARCH-LM 拉格朗日乘子检验结果（ spsspro 只取滞后 1-12阶的 ARCH 检验）。

由表格可知，较多滞后阶数的p值小于显著性水平 0.05 ，说明存在长期自相关，直接建立GARCH(1,1)-norm模型。

上表展示了 GARCH 模型的参数估计结果表，用于检验模型拟合情况。稳定的 GARCH 模型需要满足：RESID项的参数值和GARCH项的参数值要求都大于零；RESID项（也就是ARCH项）和 GARCH 项的所有参数加和要求小于1。