Szegő曲线：指数函数的零点？（一）

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Szegő曲线：指数函数的零点？（一）

2024-04-14 07:13| 来源: 网络整理| 查看: 265

在2021年，我曾发了一篇文章，激动地讲述了exp(x)部分和的零点“匀速”走向负无穷的发现，而这篇文章则是其延申。在之后的几篇文章中，我将展示更多多项式函数的零点，包括正弦函数、余弦函数的部分和；伯努利多项式；黎曼zeta函数及其他特殊函数的部分和。敬请见证。

指数函数我们都不陌生，其中以自然对数函数的底数e为底数的指数函数Exp(z)尤其为我们所熟识。Exp(z)作为一个整函数，在整个复平面上全纯。刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质：任何一个有界的整函数都是常数；皮卡小定理强化了刘维尔定理，它表明任何一个不是常数的整函数都取遍所有复数值，最多只有一个值例外：例如指数函数永远不能是零。

然而我们又知道，每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。因此Exp(z)在复数域的其中一种的定义式为 $e%5Ez%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bn!%7D$ ，代数基本定理说明，任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。那么Exp(z)是否有根？如有！

爱丽丝也不知道有没有... ...

在本文中，我们将探究Exp(nz)的部分和，expn(nz)的根的分布，并简单介绍一条神奇的曲线：Szegő曲线。

我们可以先通过图像直观地了解这个问题：设部分和 $%7Bexp%7D_n%5Cleft(nz%5Cright)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7Bn%5Ek%5Cfrac%7Bz%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$ ,曲线 $S_%E2%88%9E%3A%3D%5C%7Bz%E2%88%88C%EF%BC%9A%7Cze%5E%7B1-z%7D%7C%3D1%EF%BC%8C%7Cz%7C%E2%89%A41%5C%7D$ 画出复平面中的零点，得到如下图像：

基本要贴上了

Gábor Szegő，（加博尔·塞格）（1895.01.20-1985.08.07）是一位匈牙利裔美国数学家。在1924年，他也考虑了这个问题，并发了一篇paper[1]。由于原文是德语，加上原文已然找不到了，因此我将以一种形象而不严谨的方式进行推导，主要目的是看如何得到的这一曲线。

一、expn(z)的零点范围

K.S.K.Iyengar有一个定理告诉我们[2]，当n充分大时expn(z)的复根分布在区域 $%5Cfrac%7Bn%7D%7Be%5E2%7D%3C%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Cn$ 中。(这篇文献我也没找到！象征性地引一下！)我们可以逐步证明：

(1)证明：对一切n, expn(nz)的复根分布在单位圆内。

$%E4%BB%A4%7Bf_1%5Cleft(z%5Cright)%3A%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7Dz%5Ek%7D%2C%7Df_2%5Cleft(z%5Cright)%3A%3Dz%5En%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7Dz%5E%7B-k%7D%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7Bn%5E%7Bn-k%7D%7D%7Bn-k!%7Dz%5Ek%7D%2C%20a_k%3A%3D%5Cfrac%7Bn%5E%7Bn-k%7D%7D%7Bn-k!%7D%2C$

$%E6%9C%89a_0%3Da_1%3E%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%3Ea_n%2C$

$%E5%AF%B9%E4%BA%8E(1-z)f_2%5Cleft(z%5Cright)%3Da_0-(%5Cleft(a_0-a_1%5Cright)z%2B%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%2B(a_%7Bn-1%7D-a_n)z%5En%2Ba_nz%5E%7Bn%2B1%7D)$

$%E5%BD%93%7Cz%7C%E2%89%A41%EF%BC%8C%5Cleft%7C%5Cleft(a_%7Bk-1%7D-a_k%5Cright)z%5Ek%5Cright%7C%5Cle%5Cleft%7C%5Cleft(a_%7Bk-1%7D-a_k%5Cright)%5Cright%7C$

$%7C(1-z)f_2%5Cleft(z%5Cright)%7C%E2%89%A5a_0-(%5Cleft(a_0-a_1%5Cright)%2B%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%C2%B7%2Ba_%7Bn-1%7D-a_n%2Ba_n)%3D0$

由于等号在z=1时取得， $%E5%9B%A0%E6%AD%A4%7Cz%7C%E2%89%A41%E6%97%B6%5Cleft%7Cf_2%5Cleft(z%5Cright)%5Cright%7C%3E0%E3%80%82$ 说明这个方程的根不可能取在单位圆内。

$%E8%AE%BEz_0%5Cneq0%E6%BB%A1%E8%B6%B3f_1%5Cleft(z_0%5Cright)%3D0%EF%BC%8C%E5%8D%B3%E6%9C%89%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%7B(%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_0%7D%7D)%5E%7B-k%7D%3D0%7D$

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%7B(%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_0%7D%7D)%5E%7Bn-k%7D%3D0%3D%7Df_2%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_0%7D%5Cright)$ ，即 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_0%7D%E4%B8%BAf_2%5Cleft(z%5Cright)%3D0$ 的一个根。

由于 $%5Cleft%7C%5Cfrac%7B1%7D%7Bz_0%7D%5Cright%7C%5Cgeq1$ ，因此 $z_0$ 在单位圆内。

(2)证明：对一切n, expn(z)的复根分布在 $%5Cfrac%7Bn%7D%7Be%5E2%7D%3C%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Cn$ 。

$Exp(-n)%3CExp%5Cleft(-%5Cleft%7Cz_0%5Cright%7C%5Cright)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7B%7B-1%7D%5E%7Bk%2B1%7D%7D%7B%5Cleft(n%2Bk%5Cright)!%7D%5Cleft%7Cz_0%5Cright%7C%5E%7Bn%2Bk%7D%7D%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(n%2B1%5Cright)!%7D%5Cleft%7Cz_0%5Cright%7C%5E%7Bn%2B1%7D%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%5Cleft(n%2B1%5Cright)%7D%7D%5B%5Cfrac%7Be%7Cz_0%7C%7D%7Bn%2B1%7D%5D%5E%7Bn%2B1%7D$

$%5Csqrt%7B2%5Cpi%5Cleft(n%2B1%5Cright)%7DExp%5Cleft(-n%5Cright)%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%7D%7Be%7D%5Cright%5D%5E%7Bn%2B1%7D%3C%5Cleft%7Cz_0%5Cright%7C%5E%7Bn%2B1%7D$

$%5Cfrac%7B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%7D%7Be%5E2%7D%3C%5Cleft%7Cz_0%5Cright%7C$ ，

因此当n充分大时，expn(z)的复根分布在区域 $%5Cfrac%7Bn%7D%7Be%5E2%7D%3C%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Cn$ 。

因此当n充分大时，expn(nz)的复根分布在区域 $%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E2%7D%3C%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3C1$ 。

二、曲线方程的推导[3]

下不完全伽马函数有积分定义： $%5CGamma%5Cleft(n%2Cx%5Cright)%3D%5Cint_%7Bx%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Bt%5E%7Bn-1%7De%5E%7B-t%7Ddt%7D$

$%E6%9C%89%E9%80%92%E6%8E%A8%E5%85%B3%E7%B3%BB%3A%20%5CGamma%5Cleft(n%2B1%2Cx%5Cright)%3Dn%5CGamma%5Cleft(n%2Cx%5Cright)%2Bx%5Ene%5E%7B-x%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A$

$%3Dn%5Cleft(n-1%5Cright)%5CGamma%5Cleft(n-1%2Cx%5Cright)%2Bnx%5E%7Bn-1%7De%5E%7B-x%7D%2Bx%5Ene%5E%7B-x%7D$

可以得到 $%5CGamma%5Cleft(n%2B1%2Cx%5Cright)%3Dn!%20e%5E%7B-x%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$ ，注意到有我们想要的部分和式

进行变形，有 $e%5E%7B-z%7De%7B%5Crm%20xp%7D_n%5Cleft(z%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cint_%7Bz%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Bt%5Ene%5E%7B-t%7Ddt%7D%7D%7Bn!%7D$

$%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn!%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bz%7D%7Bt%5Ene%5E%7B-t%7Ddt%7D$

$e%5E%7B-nz%7De%7Bxp%7D_n%5Cleft(nz%5Cright)%3D1-%5Cfrac%7Bn%5En%7D%7Bn!%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bz%7D%7Bt%5Ene%5E%7B-nt%7Dndt%7D$ ，接下来我们将展开右边积分。可跳至分割线后。

$%E8%AE%BE%5Ctau_n%E2%89%94%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bn%5Ene%5E%7B-n%7D%5Csqrt%7B2%CF%80n%7D%7D%3D1%2B%5Cfrac1%7B12n%7D%2B%5Cfrac1%7B288n%5E2%7D%2BO(%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E3%7D)$ ,(Stirling's approximation)

$e%5E%7B-nz%7De%7Bxp%7D_n%5Cleft(nz%5Cright)%3D1-%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Ctau_n%5Csqrt%7B2%5Cpi%20n%7D%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bz%7D%7Bt%5Ene%5E%7Bn-nt%7Ddt%7D$

$%E8%AE%BEw%E2%89%94te%5E%7B1-t%7D$

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bz%7D%7Bt%5Ene%5E%7Bn-nt%7Ddt%7D%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bze%5E%7B1-z%7D%7D%7Bw%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Bt%5Cleft(w%5Cright)%7D%7B1-t%5Cleft(w%5Cright)%7Ddw%7D$

$%E5%AF%B9%E4%BA%8E%5Cint_%7B0%7D%5E%7BA%7D%7Bw%5E%7Bn-1%7DG%5Cleft(w%5Cright)dw%7D$ 的G(w)在A点处有泰勒展开： $%5Cint_%7B0%7D%5E%7BA%7D%7Bw%5E%7Bn-1%7DG%5Cleft(w%5Cright)dw%7D%3D%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7BG%5E%7B%5Cleft(m%5Cright)%7D%5Cleft(w%5Cright)%7D%7Bm!%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BA%7D%7Bw%5E%7Bn-1%7D%5Cleft(w-A%5Cright)%5Emdw%7D$

$%E7%94%B1Beta%E5%87%BD%E6%95%B0B%5Cleft(x%2B1%2Cy%2B1%5Cright)%3A%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%7Bw%5Ex%5Cleft(w-1%5Cright)%5Eydw%7D$

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7BA%7D%7Bw%5E%7Bn-1%7DG%5Cleft(w%5Cright)dw%7D%3D%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(-1%5Cright)%5EmA%5E%7Bm%2Bn%7DG%5E%7B%5Cleft(m%5Cright)%7D%5Cleft(w%5Cright)%7D%7B%5Cprod_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bm%7D%5Cleft(n%2Bj%5Cright)%7D$

带回我们所求，

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bze%5E%7B1-z%7D%7D%7Bw%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Bt%5Cleft(w%5Cright)%7D%7B1-t%5Cleft(w%5Cright)%7Ddw%7D$ $%3D%5Cfrac%7Bz%5Cleft(ze%5E%7B1-z%7D%5Cright)%5En%7D%7Bn%5Cleft(1-z%5Cright)%7D%5Cleft%5B1-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(1-z%5Cright)%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bz%5Cleft(4-z%5Cright)%7D%7B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cleft(1-z%5Cright)%5E4%7D%2BO%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E3%7D%5Cright)%5Cright%5D$

$e%5E%7B-nz%7De%7Bxp%7D_n%5Cleft(nz%5Cright)%3D1-%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Cleft%5B1%2BO%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cright)%5Cright%5D%5Csqrt%7B2%5Cpi%20n%7D%7D%5Cfrac%7Bz%5Cleft(ze%5E%7B1-z%7D%5Cright)%5En%7D%7Bn%5Cleft(1-z%5Cright)%7D%5Cleft%5B1%2BO%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cright)%5Cright%5D$

则 $n%5Crightarrow%2B%5Cinfty%2Ce%5E%7B-nz%7De%7Bxp%7D_n%5Cleft(nz%5Cright)%5Csim1-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%20n%7D%7D%5Cfrac%7Bz%5Cleft(ze%5E%7B1-z%7D%5Cright)%5En%7D%7B%5Cleft(1-z%5Cright)%7D$

$%E4%BB%A4e%7Bxp%7D_n%5Cleft(nz%5Cright)%3D0%2C%E5%88%99%E6%9C%89%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%20n%7D%7D%5Cfrac%7Bz%5Cleft(ze%5E%7B1-z%7D%5Cright)%5En%7D%7B%5Cleft(1-z%5Cright)%7D%3D1$

$%7Cze%5E%7B1-z%7D%7C%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cleft(1-z%5Cright)%7D%7Bz%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%20n%7D%5Cright)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$

$n%5Crightarrow%2B%5Cinfty%2C%5Cleft%7Cze%5E%7B1-z%7D%5Cright%7C%3D1$

上一行所得即为Szegő曲线。我们可以画图检验成果：

显而易见，无需多言

我们因此也能解答三年前文章的疑惑：为何沿着直线逃逸而去？因为当n增大， $exp_n%5Cleft(nz%5Cright)$ 的实零点趋于Szegő曲线与负半实数轴的交点 $-W(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%20)$ ，即是说 $exp_n%5Cleft(z%5Cright)$ 的实零点随部分和阶数表现为 $z%5Crightarrow%20-W(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%20)n$ ,因此为一根直线。

数学！很神奇吧

发现与大佬做出相同成果而暗自兴奋的小春。

参考文献

[1] G. Szegö, Über eine Eigenschaft der Exponentialreihe, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 23 (1924), 50–64.

[2] K. S. K. Iyengar, A note on the zeros of $%5Csum_%7Br%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bz%5Er%7D%7Br!%7D%3D0$ , The Mathematics Student 6 (1938), pp. 77-78.

[3] Carpenter A J, Varga R S, Waldvogel J. Asymptotics for the zeros of the partial sums of e z. I[J]. The Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1991: 99-120.

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