【高数】幂级数求和函数问题：用变限积分？积分下限是0？S(0)怎么求？求和时起始项n和角标有规定吗？

目录

一、起因

二、概念理解

1. 牛顿莱布尼茨公式

2. 变限定积分、不定积分的关系

3. 幂级数求和可以用不定积分吗？

4. 为什么从积分下限从0开始？

三、S(0)的求法

1. 何时需要讨论S(0)？

2. S(0)什么含义？

3. 怎么求S(0)？

4. 例题

四、起始项和角标问题

五、幂级数求和函数解法

六、小结

问题：幂级数求和函数，时而有S(0)这一项，时而又没有，令人困惑。

S(0) 什么含义？什么时候会有 S(0) 出现？应该怎么求 S(0)？

求和函数时，对幂级数的脚标有无要求？次方有无要求？

定理 设 f(x) 在 [a, b] 上可积，F(x) 在 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内有 F’(x)=f(x)，则

推论 设 f(x) 在 [a, b] 上可积，F(x) 在 [a, b] 上连续，且在 [a, b] 上除去有限个点外皆有 F’(x)=f(x)，则

《对牛顿-莱布尼兹公式的一点认识》：https://www.ixueshu.com/document/d91fe7d952625b8a318947a18e7f9386.html

有牛莱公式的证明和例题。

注：（1）有时F'(x)在某点处不存在，因此在解微分方程时，F(x)并不能叫做方程的解，只能叫做满足方程的函数。

       （2）牛莱公式本是为解决定积分问题的，但是，也可以用于变限积分，表示的是一个函数，而非一个数值。

因此，从该公式可以看出，当对函数进行定积分时，需要选取上下限。当上限选定为x，即变上限积分，此时下限选取为某常数m，则此时积分所得，即为 F(x)-F(m)。随着m的选取不同，该值也不同，但F(m)始终为一个常数。事实上，这就是不定积分被给了条件，而使得任意常数项C变为某个确定值，因此从一类函数变为一个确定的函数。

注：定积分和不定积分的可积没有任何关系。有一些函数是可积但不可求积的！不妨展开成幂级数然后求，要注意C项。（见《高数十八讲》例题）

《从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系》：http://www.doc88.com/p-29935820943.html

指出了（1）不定积分=变限定积分+C（2）有些不能表达为初等函数的问题，可以通过变限积分+交换积分次序解决（3）一阶线性微分方程的通解问题

当然可以，但是本质是一样的！请结合2理解。

因为幂级数求和的唯一性。（反证法：设想，如果一个幂级数有两个和函数，那么取x=b时，那么S1(b)=S2(b)=∑a_n b^n，这就是同一个和函数啊！）所以和函数是一个具体的函数。

不定积分得到的系列函数含有C，S(x)=F(x)+C，把x=0处的值代入得，C=S(0)-F(0)，求出来C。其实和变限积分是一样的，其中，F(0)=0（积分上限x代入0可得），但S(0)未必。

《关于幂级数逐项积分的积分下限的讨论》：http://www.doc88.com/p-3107942195863.html

原因有二。一是好算，如F(0)=0，且多数情况下S(0)=0。二是，x=0这个点必然在收敛域内，所以对 [0, x] 区间内的积分必然是收敛情况下的，保证了可求得和函数。

（1）先积分后求导时，常数项消掉（S(0)是一个数），所以不考虑。先求导再积分时，则有S(0)。

（2）乘x凑项时，后续得到的F(x)需要➗x才能求S(x)，此时要讨论分母即x=0的问题。如F(x)=xS(x)=某函数。

表示级数的x取零时的数值。当从n=0开始时，0的0次方无意义，怎么理解呢？

在这里，级数是先展开后代入的，所以x的0次方是1，而只是这个变量x取了0。此时，x的1次方及更高次，都是0。因此S(0)表示级数的常数项a0。

让x的次方项=0，未必就意味这n=0，有时n=0是无意义的，或者级数从n=1开始等，注意区分。

一些相关的问答：

《幂级数中求和函数，怎么s(0)有时候等于1，有时候等于0》：https://zhidao.baidu.com/question/2208569409025896028.html?&mzl=qb_xg_2&fr=relate&word=&refer_title=

《幂级数求和，积分下限0是不是s(0)=0中的0》：https://www.zybang.com/question/46bddca57c35534ae813331f455f7c01.html

《幂级数求S(0)，为什么有时不能S(x)代入0》：https://www.zybang.com/question/0a3d7d2e6831518f116c05fc01765d14.html

《为什么幂级数求和都要确定一个S(0)呢》：http://bbs.kaoyan.com/t4720399p1

这个帖子的讨论角度较多，可以看看。

幂级数求和，一定要是起始项从n=0开始吗？角标一定是n吗？

未必，有时n=0无意义，可能从n=1开始等等。角标不是n时，有可能是sinx或cox等；如果是缺项，应通过变量代换等换成n次方便于计算。

只有从n=0开始、且角标是n的级数， 才能用以下式子直接得出。下式都是在x=0处的展开，如果求的是在x=x0处展开，且在定义域内，把x替换成（x-x0）即可。

《从求幂级数和函数的过程想到的》：http://www.doc88.com/p-4874564737116.html

给出了类型及解法，有例题。

1. 不定积分=变限定积分+C

2. 积分下限从0开始，因为好算，且x=0这个点处必然收敛。

3. S(0)表示级数的常数项a0。需要讨论S(0)的情况：先积分后求导，或乘x凑项时。求法：让x的次方项=0。

4. 起始项未必从n=0开始，角标未必是n次方，有时可以直接套公式，有时需变量代换。

5. 幂级数求和函数思路：加减分解为己知的级数 / 先求导再积分，或先积分再求导 / 解微分方程。

指路链接：《级数入门 (含基础题目)》：http://tieba.baidu.com/p/5951769648?pn=1