第一章第四节 向量值函数

上一节已经知道以矢代点离散仿射，接下来了解一下连续仿射。连续仿射就是以一组连续的向量仿射一个点集，

其数学表达就是向量值函数，使用多重矩阵记号

向量值函数顾名思义，是由函数组成的一阶矩阵，结果是向量。向量矩阵的每一项是一个参变量函数，可以理解为每一项函数的值域表示该分量上的坐标，矩阵中的函数共同仿射的几何的维度由函数的参变量个数支配。如(t t)表示一条直线，(x y x²+y²)表示一个抛物面。

向量矩阵的项数代表空间维度。如上图，三维空间的单参变量仿射一条线，双参变量仿射一个平面。如果参变量和空间维数一样多，那仿射出来的就不是几何体了，而有另一种意义。

向量值函数的微分和导数的几何意义

微分就是紧邻的两个仿射向量作差，导数就是差矢再除以参变量微元，表示仿射几何在该方向的切向量，与仿射几何局部相切。

需要说明一下，仿射向量的构造方式是全部从原点出发，而其导数是在仿射几何的局部，构造方式与仿射向量截然不同。导数的这种构造方式称之为“向量丛”，如微分向量丛、切向量丛。

切向量还可以再求导，表示切向量的增长率向量，意义和向量场求导类似。

二阶导数代表仿射几何的弯曲程度，弯曲越厉害地方二阶导数值越大。直线的二阶导数当然为0，切向量丛为常数向量丛

仿射几何上的无穷小线段平方定义为第一基本型，等于微分向量的平方，称为线元

Ⅰ=ds²=dyⱼ²=(∂yⱼ/∂xᵢdxᵢ)²

第一基本型是一个标量，用于计算微分几何上的曲线长，由勾股定理线长L=∫√ds²

Ⅰ型是仿射几何的内蕴量，“内蕴”的含义是此量的计算直接由参变量决定，是在仿射几何之中的计算，公式虽然来源于向量，但计算的因果已与向量无关，没有外部步骤。

从几何的角度看空间，空间本身也能写成向量值函数，不妨简称为空间向函——一类特殊的向量值函数。

欧式空间都可以写成(xᵢ)的形式，当向量值函数代表空间时，参变量个数等于项数，并且各项就是空间坐标系的各轴。

空间向函所有的仿射向量组成空间的全部点，所仿射的几何就是空间本身。

空间向函的切向量丛，根据丛的构造方式，遍布全空间，就等价于向量场。切向量场的几何意义特殊，是空间上的标架场。

欧式空间向函的各项就等于参变量本身，所以其导数是正交归一常数矩阵，

因向量场构造方式可知空间上的各点标架场全部相等正交归一，所以向量(纯几何量)在欧式空间中具有坐标平移不变性。又因为我们构造向量场的方式就是在欧式坐标系上构造，所以约定欧式空间表达的向量坐标是向量本身的向量值。

根据标架场还可以构造坐标网，其实就是微分向量场：导数点积余切

从坐标网可以看出空间中的最短线形状，无穷小微元直连成的线就是最短线。欧式空间两点之间直线最短。二阶导数为0表示空间平直无弯曲。

第一基本型和线积分同样可以在空间中使用。

空间向函导数的平方就是空间的度量矩阵gᵢⱼ，线元用线性代数表达是

其实在微分几何这门课中还有很多其他的量，但是在后面的推导中用不到所以我们不关心。

对空间向函求导可以得到标架场和度量的概念，我们已经知道向量场、丛、仿射向量的构造区别以及在空间向函中切向量丛等价于场。

欧式空间向函的各项就是参变量本身，如果各项是参变量的函数时，空间向函所代表的空间就是非欧空间（度量空间）了；如果二阶导数不为0，也叫弯曲空间。

yⱼ=fⱼ(xᵢ)，∑i=∑j

向量在空间上的坐标由于各处标架可能不同而不同，等于基矢点积坐标。