e^x

Step 1 \lim_{x \to 0} \left( 1 + x \right) ^ {1/x} = \mathrm{e}.

证明 由重要极限 \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right) ^x = \mathrm{e} （即 \mathrm{e} 的定义式）作变量代换 x = \frac{1}{t} 即可得到（最后再把 t 换回 x ）.

Step 2 \lim_{x \to 0} \frac {\ln \left( 1 + x \right)}{x} = 1 ，即 \ln (1+x) \sim x \ (x \to 0).

证明 由 Step 1 的结果，结合相关运算法则，有

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \ln (1+x)^{1/x} = \ln \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = \ln \mathrm{e} = 1. \\

即

\ln (1+x) \sim x \ (x \to 0). \\

Step 3 \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} = 1 ，即 \mathrm{e}^x-1 \sim x \left( x \to 0 \right).

证明 由 Step 2 的结果，作变量代换 x = \ln (1+t) ，则 t = \mathrm{e}^x - 1 ，当 x \to 0 时， t \to 0 ，于是

\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1+t-1}{\ln (1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln (1+t)} = \frac{1}{\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t)}{t}} = \frac{1}{1} = 1, \\

即

\mathrm{e}^x - 1 \sim x \ (x \to 0). \\