蒙特卡洛法求积分

问题一：我们如何用蒙特卡洛方法求积分？问题二：如何近似求一个随机变量的数学期望？问题三：估计的误差是多少？问题四：如何从理论上对蒙特卡洛估计做分析？结论

你眼中的蒙特卡洛方法求积分，可能是这样子的：

但是我要讲的蒙特卡洛求积跟这个些许不一样。

假如我想求    ，我们来用概率的语言表达一下它。设随机变量    ，即   上的均匀分布，   具有密度函数    。那么就有：   ，这个公式是下面推导中非常重要的一环。事实上，借助这个公式，我们将求积分转化为求某个随机变量的数学期望！

接下来我们就可以用统计学的手段来处理了。

通常情况下，    都是一个比较复杂的函数。我们想要近似求期望，只能用统计学的手段。

设随机变量    ，一个常用的办法是，如果我们找到     个随机变量     的样本   那么   就是   一个好的近似！

容易知道，上式中的     服从    上的均匀分布。

所以我们的做法可以总结如下：

生成   个   上均匀分布的随机数   。

计算函数值   

积分    具有近似值   

接下来看一个例子来验证我们的结果：

   , 用蒙特卡洛方法近似计算    ，我们知道真实值是   ，介于2.6到2.7之间取   

目前看来效果还算不错，但是问题就这样结束了么？

凡估计必有误差

每一次采样都可以得到一个估计值，我们多次采样，得到多个估计值，画出多个估计值的分布图，从图上就可以近似看出估计的误差了。

惊讶的观察到：

虽然我们真实值是2.67左右，但是估计出2.5、2.9这种偏离程度大的值还是有可能的。

多次采样的结果分布像是正态分布。（这是巧合吗？）

把单次采样点增加到2000个，直觉告诉我们，误差会减小！

明显看到分布更加紧凑了一些。

在统计学上，我们评价一个估计好不好的标准有哪些呢？统计量有三大基本性质：

无偏性、有效性、相合性（一致性）

无偏性表示这个估计有没有 bias；有效性指这个估计的方差够不够小；相合性或者说一致性，说的是当样本容量非常大的时候，估计值是否趋近于真实值。

接下来我们从理论上来讨论这三点：设     是     的一个估计量，则：

   是无偏的，这点很好理解，对于样本   ,    。

   是相合估计量，根据大数定律，估计量   几乎绝对收敛与   。

有效性没法说明，但是我们可以知道   的方差为   （样本之间独立）通过中心极限定理，还可以知道，当样本容量很大的时候，   渐进服从以   为均值，   为方差的正态分布。

最后，我想展示一下，本文所述的转化为估计随机变量期望的蒙特卡洛方法 与 传统的往正方形内投点计算落在圆内的点个数来估计     值的方法的不同。