正定矩阵与可逆矩阵的关系

在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的可逆阵，记作A-1

（1）AB=E（E为单位阵）； （2）矩阵A满秩（即r(A)=n）； （3）A的特征值全不为0； （4）A的行列式|A|≠0，也可表述为A是非奇异矩阵（即行列式不为0的矩阵）； （5）齐次线性方程组AX=0 仅有零解； （6）非齐次线性方程组AX=b 有唯一解； （7）A的行（列）向量组线性无关； （8）任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。 注：以上条件全部是等价的

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。 其实，在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数

（1）正定矩阵的行列式均大于0，且其一切顺序主子式均大于0； （2）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵； （3）两个正定矩阵的和是正定矩阵； （4）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵； （5）正定矩阵的特征值均为正。

证明： 因为：“正定矩阵A的行列式均大于0，且其一切顺序主子式均大于0”， 所以：“矩阵A满秩，一定可逆”

如矩阵Q和R分别在什么情况下能保证矩阵M=ATQA+R可逆？ 分析：若R是正定的、Q半正定，显然M是正定的，因为Q半正定保证ATQA半正定，而R是正定的，所以M一定是正定的； 又或者R是半正定的，Q是正定的，此时若A满秩，那么ATQA一定正定，而R是半正定的，所以所以M一定是正定的，所以矩阵M=ATQA+R可逆。