2010

方法：该题为第一类曲线积分基础题，不常考，直接使用公式，将y带入计算，求dx

常用方法：

常用方法： 平面方程： 常用补线+格林（化为二重积分，计算的是“面积”） 空间方程： 常用斯托克斯（求法向量的余弦）

法一： 法二：：此题注意，用补线+格林公式（注意减号）的话，为ds=3Xdx，关于y对称，直接为0，补线L1因为y=0，dy=0代入，也为0

划重点：注意区分斯托克斯的两种方式应用场景

空间曲线 方法一：写出参数方程分别代入，此题比较好写直接x=cost 、y=sint、z=cost+sint代入即可 法二：弱项，使用斯托克斯公式直接计算，这里注意求cos值，首先求出法向量：根据平面z=x+y 第2->3步还未理解：由托斯克斯解出来的是第二型曲线积分，使用投影转换法，将dydz和dxdz转换为dxdy 步骤：平面方程为F=z-x-y求得法向量为(-1,-1,1) 则dydz=-1dxdy(没有哪个用哪个) 、 dzdx= -1dxdy 注意：cos方向确定：由于是求柱面的上策面积所以z取正，F=z-x-y，解得cos向量余弦 斯托克斯公式两种表示方式

方法：判断为第二类曲线积分，且为平面，考虑补线+格林

运气题 常用方法： ①计算量较大，转换为熟悉的积分：二重（格林公式）再比较大小

②利用几何意义 化为格林公式后，利用D4=0，即在D4外0，利用可加性，将各个函数与D4比较

（与11年一样类型）空间曲线：考虑参数方程或斯托克斯，参数方程好写，建议写参数方程

判断类型：为第二类曲线积分 法一：参数方程 法二：斯托克斯 （注意该方法算出的积分为第二类曲面积分，可以带方程）

（2010-2015未遇到） 主要判断的是P对y的偏导和Q对x的偏导数，若相等，则路径无关，解决方法是带特殊线段进行积分，可与多元函数微分联合

可用于求薄片质量（17年考题），即密度在曲面的积分

常用方法 特别注意ds与dxdy的关系 例题分析

综合题： 方法 ①先求出曲线方程 1.利用椭球面求平面的法向量 2.由于与xoy面垂直，平面法向量与xoy面法向量设为（0,0,1）垂直，得出2z-y=0 3.将方程代入椭球面求得C的方程 ②计算曲线积分(一投二代三计算) 1.将C投影值xoy即为椭圆方程 2.利用椭球面求得对x和y的偏导 3.代入ds与dxdy的关系式解曲线积分

一投二代三计算

常用方法 ：主要是 挖洞（有奇点）+高斯 例题分析

解题思路：挖洞（利用分母选取合适的曲面）/补面+高斯

法一：补面+高斯 注意有坑！！！ 三重积分计算x2 +y2 (z