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原文链接：http://tecdat.cn/?p=17494 本说明介绍了具有Student-t改进的GARCH（1,1）模型的贝叶斯估计方法。 介绍摘要本说明介绍使用Student-t改进的GARCH（1,1）模型对汇率对数收益进行贝叶斯估计。 自Engle（1982）的开创性论文以来，使用时间序列模型改变波动率的研究一直很活跃。ARCH（自回归条件异方差）和GARCH（广义ARCH）类型模型迅速发展成为80年代预测波动率的经验模型的丰富家族。这些模型是金融计量经济学的广泛传播和必不可少的工具。在Bollerslev（1986）引入的GARCH（p，q）模型中，（金融资产或金融指数）对数收益yt在时间t的条件方差假设用ht表示，它是过去q个对数返回和过去p个条件方差的平方的线性函数。更确切地说：  带有Student-t改进的GARCH（1,1）模型基于Nakatsuma（1998）的工作，由Metropolis-Hastings（MH）算法组成，其中分布是根据平方观测值由辅助ARMA过程构建的。这种方法避免了选择和调整采样算法的耗时且困难的任务，特别是对于非专家而言。该程序用R编写，带有一些用C实现的子例程，以加快仿真过程。该算法的有效性以及计算机代码的正确性已通过Geweke（2004）的方法进行了验证。 模型，先验和MCMC方案可以通过数据扩充编写具有Student-t改进的GARCH（1,1）模型，用于对数收益率fytg。  我们强调以下事实：在MH算法中仅实现正约束。在仿真过程中没有施加平稳性条件。 为了编写似然函数，我们定义向量y =（y1，...，yT）0，v =（v1，...，vT）0和a =（.a0，a1）。我们将模型参数重新组合为向量y =（.a，b，n）。然后，在定义T×T对角矩阵时  我们可以将（y，v）表示为  贝叶斯方法将（y，v）视为随机变量，其特征在于以p（y，v）表示的先验密度。先验是在称为超参数的参数的帮助下指定的，这些参数最初假定为已知且恒定。而且，根据研究人员的先验信息，这种密度可能或多或少地提供信息。然后，通过将模型参数的似然函数与先验密度耦合，我们可以使用贝叶斯规则对概率密度进行变换，以得出后验密度p（y，vjy），如下所示：  该后验是观察数据后关于模型参数的知识的定量概率描述。 我们在GARCH参数a和b上使用了截距的普通先验  其中m•和S•是超参数，1f·g是指标函数，fNd是d维法向密度。可以发现以n为条件的向量v的先验分布，从而得出  在选择自由度参数的先验分布时，我们遵循Deschamps（2006）的方法。分布是参数l> 0且d≥2的平移指数  对于较大的l值，先验质量集中在d附近，并且可以通过这种方式对自由度施加约束。 实现的MCMC采样基于Ardia（2008）的方法，该方法的灵感来自Nakatsuma（1998）的先前工作。该算法由MH算法组成，其中GARCH参数按块更新（a对应一个块，b对应一个块），而自由度参数是使用优化的拒绝技术从转换后的指数源密度中采样的。该方法具有全自动的优点。 实例分析我们将贝叶斯估计方法应用于（DEM / GBP）外汇对数收益率的每日观察值。样本时间为1985年1月3日至1991年12月31日，共1974个观测值。此数据集已被推广为GARCH时间序列软件验证的非正式基准。从这个时间序列中，前750个观测值用于说明贝叶斯方法。我们的数据集中的观察窗口摘录绘制在图1中。  我们对带有Student-t的GARCH（1,1）模型进行了改进，以拟合此观察窗的数据 代码语言：javascript复制 function (y, mu.alpha = c(0, 0), Sigma.alpha = 1000 * diag(1,2), mu.beta = 0, Sigma.beta = 1000, lambda = 0.01, delta = 2, control = list())函数的输入自变量是数据向量，超参数，例如： • 要生成的MCMC链数；默认值1。 • 每个MCMC链的长度；•start.val：链的起始值的向量；默认值为10000 。 作为贝叶斯估计的先验分布。通过设置控制参数值n.chain = 2和l.chain = 5000，我们为5000次传递生成了两条链。 代码语言：javascript复制 > MCMC 1 - rejectionRate alpha0 alpha1 beta nu 0.890 0.890 0.953 1.000 > autocorr.diag alpha0 alpha1 beta nu Lag 0 1.000 1.000 1.000 1.000 Lag 1 0.914 0.872 0.975 0.984 Lag 5 0.786 0.719 0.901 0.925 Lag 10 0.708 0.644 0.816 0.863 Lag 50 0.304 0.299 0.333 0.558收敛诊断没有显示最后2500次迭代的收敛证据。MCMC采样算法的接受率非常高，从向量a的89％到b的95％不等，这表明分布接近于全部条件。我们丢弃了从MCMC的整体输出中抽样前2500次作为预烧期，仅保留第二次抽样以减少自相关，   代码语言：javascript复制
> smpl
n.chain : 2
l.chain : 5000
l.bi : 2500
batch.size: 2
smpl size : 2500
基本的后验统计： 代码语言：javascript复制 Iterations = 1:2500 Thinning interval = 1 Number of chains = 1 Sample size per chain = 2500 1. Empirical mean and standard deviation for each variable, plus standard error of the mean: Mean SD Naive SE Time-series SE alpha0 0.0345 0.0138 0.000277 0.00173 alpha1 0.2360 0.0647 0.001293 0.00760 beta 0.6832 0.0835 0.001671 0.01156 nu 6.4019 1.5166 0.030333 0.19833每个变量的分位数： 代码语言：javascript复制 2.5% 25% 50% 75% 97.5% alpha0 0.0126 0.024 0.0328 0.0435 0.0646 alpha1 0.1257 0.189 0.2306 0.2764 0.3826 beta 0.5203 0.624 0.6866 0.7459 0.8343 nu 4.2403 5.297 6.1014 7.2282 10.1204通过首先将输出转换为矩阵，然后使用函数hist，可以获取模型参数的边际分布。 边缘后部密度显示在图3中。我们清楚地注意到直方图的不对称形状。对于参数n尤其如此。后平均值和中位数之间的差异也反映了这一点。这些结果应该警告我们，不要滥用渐近论证。在当前情况下，即使是750次观测也不足以证明参数估计量分布的渐近对称正态近似。 可以通过从联合后验样本中进行仿真来直接获得关于模型参数的非线性函数的概率陈述。 特别是，我们可以测试协方差平稳性条件，并在满足该条件时估计无条件方差的密度。根据GARCH（1,1）规范，如果a1 + b |
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